Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60973 / 40565
↖ ↑ ↗
← N 56.381981°
W 12.532654°		 ← 169.06 m → N 56.381981°
W 12.529907°		 →
↑
169.09 m
↓
↑
169.09 m
↓
N 56.380461°
W 12.532654°		 ← 169.07 m →
28 587 m²		 N 56.380461°
W 12.529907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465190887451172 y=0.309490203857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465190887451172 × 217)
    floor (0.465190887451172 × 131072)
    floor (60973.5)     		tx = 60973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309490203857422 × 217)
    floor (0.309490203857422 × 131072)
    floor (40565.5)     		ty = 40565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60973 / 40565 ti = "17/60973/40565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60973/40565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60973 ÷ 217
    60973 ÷ 131072     		x = 0.465187072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40565 ÷ 217
    40565 ÷ 131072     		y = 0.309486389160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465187072753906 × 2 - 1) × π
    -0.0696258544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21873607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309486389160156 × 2 - 1) × π
    0.381027221679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.19703232041242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21873607} λ = -0.21873607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19703232041242))-π/2
    2×atan(3.31027848540209)-π/2
    2×1.27742376710782-π/2
    2.55484753421565-1.57079632675     		φ = 0.98405121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21873607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.532654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98405121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.381981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60973 KachelY 40565 -0.21873607 0.98405121 -12.532654 56.381981
    Oben rechts KachelX + 1 60974 KachelY 40565 -0.21868814 0.98405121 -12.529907 56.381981
    Unten links KachelX 60973 KachelY + 1 40566 -0.21873607 0.98402467 -12.532654 56.380461
    Unten rechts KachelX + 1 60974 KachelY + 1 40566 -0.21868814 0.98402467 -12.529907 56.380461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98405121-0.98402467) × R
    2.65399999999083e-05 × 6371000     		dl = 169.086339999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98405121-0.98402467) × R
    2.65399999999083e-05 × 6371000     		dr = 169.086339999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21873607--0.21868814) × cos(0.98405121) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553653465712144 × 6371000     		do = 169.064746206401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21873607--0.21868814) × cos(0.98402467) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553675566626897 × 6371000     		du = 169.071494986595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98405121)-sin(0.98402467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553653465712144-0.553675566626897)×R²
    abs(-0.21868814--0.21873607)×2.2100914753076e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2100914753076e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2100914753076e-05×40589641000000     		ar = 28587.1097240056m²