Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60972 / 33948
↖ ↑ ↗
← N 65.187641°
W 12.535400°		 ← 128.17 m → N 65.187641°
W 12.532654°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
N 65.186488°
W 12.535400°		 ← 128.18 m →
16 422 m²		 N 65.186488°
W 12.532654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465183258056641 y=0.259006500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465183258056641 × 217)
    floor (0.465183258056641 × 131072)
    floor (60972.5)     		tx = 60972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259006500244141 × 217)
    floor (0.259006500244141 × 131072)
    floor (33948.5)     		ty = 33948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60972 / 33948 ti = "17/60972/33948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60972/33948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60972 ÷ 217
    60972 ÷ 131072     		x = 0.465179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33948 ÷ 217
    33948 ÷ 131072     		y = 0.259002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.06964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21878401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259002685546875 × 2 - 1) × π
    0.48199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51423078519833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21878401} λ = -0.21878401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51423078519833))-π/2
    2×atan(4.54592299035753)-π/2
    2×1.35426764572646-π/2
    2.70853529145293-1.57079632675     		φ = 1.13773896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21878401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.535400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13773896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.187641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60972 KachelY 33948 -0.21878401 1.13773896 -12.535400 65.187641
    Oben rechts KachelX + 1 60973 KachelY 33948 -0.21873607 1.13773896 -12.532654 65.187641
    Unten links KachelX 60972 KachelY + 1 33949 -0.21878401 1.13771885 -12.535400 65.186488
    Unten rechts KachelX + 1 60973 KachelY + 1 33949 -0.21873607 1.13771885 -12.532654 65.186488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13773896-1.13771885) × R
    2.01100000001286e-05 × 6371000     		dl = 128.12081000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13773896-1.13771885) × R
    2.01100000001286e-05 × 6371000     		dr = 128.12081000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21878401--0.21873607) × cos(1.13773896) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419647891453786 × 6371000     		do = 128.171267786703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21878401--0.21873607) × cos(1.13771885) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419666144954026 × 6371000     		du = 128.176842875521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13773896)-sin(1.13771885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419647891453786-0.419666144954026)×R²
    abs(-0.21873607--0.21878401)×1.82535002397621e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82535002397621e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82535002397621e-05×40589641000000     		ar = 16421.7637906034m²