Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60971 / 40493
↖ ↑ ↗
← N 56.491311°
W 12.538147°		 ← 168.61 m → N 56.491311°
W 12.535400°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
N 56.489795°
W 12.538147°		 ← 168.62 m →
28 425 m²		 N 56.489795°
W 12.535400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465175628662109 y=0.308940887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465175628662109 × 217)
    floor (0.465175628662109 × 131072)
    floor (60971.5)     		tx = 60971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308940887451172 × 217)
    floor (0.308940887451172 × 131072)
    floor (40493.5)     		ty = 40493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60971 / 40493 ti = "17/60971/40493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60971/40493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60971 ÷ 217
    60971 ÷ 131072     		x = 0.465171813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40493 ÷ 217
    40493 ÷ 131072     		y = 0.308937072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465171813964844 × 2 - 1) × π
    -0.0696563720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21883195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308937072753906 × 2 - 1) × π
    0.382125854492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.20048377718507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21883195} λ = -0.21883195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20048377718507))-π/2
    2×atan(3.32172350813887)-π/2
    2×1.27837785026792-π/2
    2.55675570053583-1.57079632675     		φ = 0.98595937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21883195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.538147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98595937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.491311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60971 KachelY 40493 -0.21883195 0.98595937 -12.538147 56.491311
    Oben rechts KachelX + 1 60972 KachelY 40493 -0.21878401 0.98595937 -12.535400 56.491311
    Unten links KachelX 60971 KachelY + 1 40494 -0.21883195 0.98593291 -12.538147 56.489795
    Unten rechts KachelX + 1 60972 KachelY + 1 40494 -0.21878401 0.98593291 -12.535400 56.489795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98595937-0.98593291) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dl = 168.576659999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98595937-0.98593291) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dr = 168.576659999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21883195--0.21878401) × cos(0.98595937) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552063443900631 × 6371000     		do = 168.614385880286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21883195--0.21878401) × cos(0.98593291) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552085506111126 × 6371000     		du = 168.621124247252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98595937)-sin(0.98593291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552063443900631-0.552085506111126)×R²
    abs(-0.21878401--0.21883195)×2.20622104943891e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20622104943891e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20622104943891e-05×40589641000000     		ar = 28425.0179669426m²