Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60970 / 32504
↖ ↑ ↗
← N 66.800567°
W 12.540893°		 ← 120.29 m → N 66.800567°
W 12.538147°		 →
↑
120.28 m
↓
↑
120.28 m
↓
N 66.799485°
W 12.540893°		 ← 120.30 m →
14 470 m²		 N 66.799485°
W 12.538147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465167999267578 y=0.247989654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465167999267578 × 217)
    floor (0.465167999267578 × 131072)
    floor (60970.5)     		tx = 60970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247989654541016 × 217)
    floor (0.247989654541016 × 131072)
    floor (32504.5)     		ty = 32504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60970 / 32504 ti = "17/60970/32504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60970/32504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60970 ÷ 217
    60970 ÷ 131072     		x = 0.465164184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32504 ÷ 217
    32504 ÷ 131072     		y = 0.24798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465164184570312 × 2 - 1) × π
    -0.069671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21887988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24798583984375 × 2 - 1) × π
    0.5040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58345166824969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21887988} λ = -0.21887988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58345166824969))-π/2
    2×atan(4.87174246237376)-π/2
    2×1.36834307937677-π/2
    2.73668615875355-1.57079632675     		φ = 1.16588983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21887988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.540893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16588983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.800567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60970 KachelY 32504 -0.21887988 1.16588983 -12.540893 66.800567
    Oben rechts KachelX + 1 60971 KachelY 32504 -0.21883195 1.16588983 -12.538147 66.800567
    Unten links KachelX 60970 KachelY + 1 32505 -0.21887988 1.16587095 -12.540893 66.799485
    Unten rechts KachelX + 1 60971 KachelY + 1 32505 -0.21883195 1.16587095 -12.538147 66.799485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16588983-1.16587095) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dl = 120.284480000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16588983-1.16587095) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dr = 120.284480000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21887988--0.21883195) × cos(1.16588983) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.393932819628529 × 6371000     		do = 120.292125485395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21887988--0.21883195) × cos(1.16587095) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.393950172907079 × 6371000     		du = 120.29742451776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16588983)-sin(1.16587095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393932819628529-0.393950172907079)×R²
    abs(-0.21883195--0.21887988)×1.73532785494035e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.73532785494035e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.73532785494035e-05×40589641000000     		ar = 14469.5944584056m²