Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60969 / 40778
↖ ↑ ↗
← N 56.056702°
W 12.543640°		 ← 170.54 m → N 56.056702°
W 12.540893°		 →
↑
170.49 m
↓
↑
170.49 m
↓
N 56.055169°
W 12.543640°		 ← 170.55 m →
29 076 m²		 N 56.055169°
W 12.540893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465160369873047 y=0.311115264892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465160369873047 × 217)
    floor (0.465160369873047 × 131072)
    floor (60969.5)     		tx = 60969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311115264892578 × 217)
    floor (0.311115264892578 × 131072)
    floor (40778.5)     		ty = 40778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60969 / 40778 ti = "17/60969/40778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60969/40778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60969 ÷ 217
    60969 ÷ 131072     		x = 0.465156555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40778 ÷ 217
    40778 ÷ 131072     		y = 0.311111450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465156555175781 × 2 - 1) × π
    -0.0696868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21892782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311111450195312 × 2 - 1) × π
    0.377777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18682176079335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21892782} λ = -0.21892782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18682176079335))-π/2
    2×atan(3.27665066117991)-π/2
    2×1.27458517548106-π/2
    2.54917035096213-1.57079632675     		φ = 0.97837402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21892782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.543640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97837402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.056702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60969 KachelY 40778 -0.21892782 0.97837402 -12.543640 56.056702
    Oben rechts KachelX + 1 60970 KachelY 40778 -0.21887988 0.97837402 -12.540893 56.056702
    Unten links KachelX 60969 KachelY + 1 40779 -0.21892782 0.97834726 -12.543640 56.055169
    Unten rechts KachelX + 1 60970 KachelY + 1 40779 -0.21887988 0.97834726 -12.540893 56.055169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97837402-0.97834726) × R
    2.67599999999035e-05 × 6371000     		dl = 170.487959999385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97837402-0.97834726) × R
    2.67599999999035e-05 × 6371000     		dr = 170.487959999385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21892782--0.21887988) × cos(0.97837402) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558372181954674 × 6371000     		do = 170.541236868908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21892782--0.21887988) × cos(0.97834726) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55839438159828 × 6371000     		du = 170.548017211484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97837402)-sin(0.97834726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558372181954674-0.55839438159828)×R²
    abs(-0.21887988--0.21892782)×2.2199643606502e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2199643606502e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2199643606502e-05×40589641000000     		ar = 29075.8055545988m²