Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60968 / 40781
↖ ↑ ↗
← N 56.052101°
W 12.546387°		 ← 170.56 m → N 56.052101°
W 12.543640°		 →
↑
170.55 m
↓
↑
170.55 m
↓
N 56.050567°
W 12.546387°		 ← 170.57 m →
29 090 m²		 N 56.050567°
W 12.543640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465152740478516 y=0.311138153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465152740478516 × 217)
    floor (0.465152740478516 × 131072)
    floor (60968.5)     		tx = 60968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311138153076172 × 217)
    floor (0.311138153076172 × 131072)
    floor (40781.5)     		ty = 40781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60968 / 40781 ti = "17/60968/40781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60968/40781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60968 ÷ 217
    60968 ÷ 131072     		x = 0.46514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40781 ÷ 217
    40781 ÷ 131072     		y = 0.311134338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.0697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21897576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311134338378906 × 2 - 1) × π
    0.377731323242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.18667795009449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21897576} λ = -0.21897576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18667795009449))-π/2
    2×atan(3.27617947763983)-π/2
    2×1.27454502313938-π/2
    2.54909004627876-1.57079632675     		φ = 0.97829372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21897576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.546387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97829372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.052101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60968 KachelY 40781 -0.21897576 0.97829372 -12.546387 56.052101
    Oben rechts KachelX + 1 60969 KachelY 40781 -0.21892782 0.97829372 -12.543640 56.052101
    Unten links KachelX 60968 KachelY + 1 40782 -0.21897576 0.97826695 -12.546387 56.050567
    Unten rechts KachelX + 1 60969 KachelY + 1 40782 -0.21892782 0.97826695 -12.543640 56.050567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97829372-0.97826695) × R
    2.67700000000648e-05 × 6371000     		dl = 170.551670000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97829372-0.97826695) × R
    2.67700000000648e-05 × 6371000     		dr = 170.551670000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21897576--0.21892782) × cos(0.97829372) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558438796276797 × 6371000     		do = 170.561582597537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21897576--0.21892782) × cos(0.97826695) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55846100301577 × 6371000     		du = 170.568365107221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97829372)-sin(0.97826695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558438796276797-0.55846100301577)×R²
    abs(-0.21892782--0.21897576)×2.22067389731295e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22067389731295e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22067389731295e-05×40589641000000     		ar = 29090.1411357934m²