Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60967 / 40783
↖ ↑ ↗
← N 56.049034°
W 12.549133°		 ← 170.54 m → N 56.049034°
W 12.546387°		 →
↑
170.55 m
↓
↑
170.55 m
↓
N 56.047500°
W 12.549133°		 ← 170.55 m →
29 086 m²		 N 56.047500°
W 12.546387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465145111083984 y=0.311153411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465145111083984 × 217)
    floor (0.465145111083984 × 131072)
    floor (60967.5)     		tx = 60967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311153411865234 × 217)
    floor (0.311153411865234 × 131072)
    floor (40783.5)     		ty = 40783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60967 / 40783 ti = "17/60967/40783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60967/40783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60967 ÷ 217
    60967 ÷ 131072     		x = 0.465141296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40783 ÷ 217
    40783 ÷ 131072     		y = 0.311149597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465141296386719 × 2 - 1) × π
    -0.0697174072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21902369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311149597167969 × 2 - 1) × π
    0.377700805664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.18658207629525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21902369} λ = -0.21902369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18658207629525))-π/2
    2×atan(3.2758653929228)-π/2
    2×1.2745182522503-π/2
    2.5490365045006-1.57079632675     		φ = 0.97824018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21902369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.549133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97824018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.049034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60967 KachelY 40783 -0.21902369 0.97824018 -12.549133 56.049034
    Oben rechts KachelX + 1 60968 KachelY 40783 -0.21897576 0.97824018 -12.546387 56.049034
    Unten links KachelX 60967 KachelY + 1 40784 -0.21902369 0.97821341 -12.549133 56.047500
    Unten rechts KachelX + 1 60968 KachelY + 1 40784 -0.21897576 0.97821341 -12.546387 56.047500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97824018-0.97821341) × R
    2.67700000000648e-05 × 6371000     		dl = 170.551670000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97824018-0.97821341) × R
    2.67700000000648e-05 × 6371000     		dr = 170.551670000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21902369--0.21897576) × cos(0.97824018) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558483209354532 × 6371000     		do = 170.53956652942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21902369--0.21897576) × cos(0.97821341) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558505415293066 × 6371000     		du = 170.546347379889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97824018)-sin(0.97821341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558483209354532-0.558505415293066)×R²
    abs(-0.21897576--0.21902369)×2.22059385341922e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22059385341922e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22059385341922e-05×40589641000000     		ar = 29086.3861171645m²