Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60966 / 40658
↖ ↑ ↗
← N 56.240297°
W 12.551880°		 ← 169.73 m → N 56.240297°
W 12.549133°		 →
↑
169.72 m
↓
↑
169.72 m
↓
N 56.238771°
W 12.551880°		 ← 169.74 m →
28 807 m²		 N 56.238771°
W 12.549133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465137481689453 y=0.310199737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465137481689453 × 217)
    floor (0.465137481689453 × 131072)
    floor (60966.5)     		tx = 60966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310199737548828 × 217)
    floor (0.310199737548828 × 131072)
    floor (40658.5)     		ty = 40658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60966 / 40658 ti = "17/60966/40658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60966/40658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60966 ÷ 217
    60966 ÷ 131072     		x = 0.465133666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40658 ÷ 217
    40658 ÷ 131072     		y = 0.310195922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465133666992188 × 2 - 1) × π
    -0.069732666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21907163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310195922851562 × 2 - 1) × π
    0.379608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19257418874776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21907163} λ = -0.21907163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19257418874776))-π/2
    2×atan(3.29555367502704)-π/2
    2×1.27618734464935-π/2
    2.55237468929869-1.57079632675     		φ = 0.98157836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21907163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.551880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98157836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.240297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60966 KachelY 40658 -0.21907163 0.98157836 -12.551880 56.240297
    Oben rechts KachelX + 1 60967 KachelY 40658 -0.21902369 0.98157836 -12.549133 56.240297
    Unten links KachelX 60966 KachelY + 1 40659 -0.21907163 0.98155172 -12.551880 56.238771
    Unten rechts KachelX + 1 60967 KachelY + 1 40659 -0.21902369 0.98155172 -12.549133 56.238771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98157836-0.98155172) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dl = 169.723439999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98157836-0.98155172) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dr = 169.723439999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21907163--0.21902369) × cos(0.98157836) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555711029647995 × 6371000     		do = 169.728452456388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21907163--0.21902369) × cos(0.98155172) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555733177294594 × 6371000     		du = 169.73521691774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98157836)-sin(0.98155172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555711029647995-0.555733177294594)×R²
    abs(-0.21902369--0.21907163)×2.21476465992465e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21476465992465e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21476465992465e-05×40589641000000     		ar = 28807.4708622502m²