Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60965 / 40659
↖ ↑ ↗
← N 56.238771°
W 12.554627°		 ← 169.74 m → N 56.238771°
W 12.551880°		 →
↑
169.72 m
↓
↑
169.72 m
↓
N 56.237245°
W 12.554627°		 ← 169.74 m →
28 809 m²		 N 56.237245°
W 12.551880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465129852294922 y=0.310207366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465129852294922 × 217)
    floor (0.465129852294922 × 131072)
    floor (60965.5)     		tx = 60965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310207366943359 × 217)
    floor (0.310207366943359 × 131072)
    floor (40659.5)     		ty = 40659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60965 / 40659 ti = "17/60965/40659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60965/40659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60965 ÷ 217
    60965 ÷ 131072     		x = 0.465126037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40659 ÷ 217
    40659 ÷ 131072     		y = 0.310203552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465126037597656 × 2 - 1) × π
    -0.0697479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21911957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310203552246094 × 2 - 1) × π
    0.379592895507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.19252625184814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21911957} λ = -0.21911957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19252625184814))-π/2
    2×atan(3.29539570018777)-π/2
    2×1.27617402485206-π/2
    2.55234804970411-1.57079632675     		φ = 0.98155172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21911957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.554627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98155172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.238771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60965 KachelY 40659 -0.21911957 0.98155172 -12.554627 56.238771
    Oben rechts KachelX + 1 60966 KachelY 40659 -0.21907163 0.98155172 -12.551880 56.238771
    Unten links KachelX 60965 KachelY + 1 40660 -0.21911957 0.98152508 -12.554627 56.237245
    Unten rechts KachelX + 1 60966 KachelY + 1 40660 -0.21907163 0.98152508 -12.551880 56.237245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98155172-0.98152508) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dl = 169.723439999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98155172-0.98152508) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dr = 169.723439999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21911957--0.21907163) × cos(0.98155172) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555733177294594 × 6371000     		do = 169.735216917838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21911957--0.21907163) × cos(0.98152508) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555755324546795 × 6371000     		du = 169.74198125873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98155172)-sin(0.98152508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555733177294594-0.555755324546795)×R²
    abs(-0.21907163--0.21911957)×2.21472522012878e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21472522012878e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21472522012878e-05×40589641000000     		ar = 28808.6189396762m²