Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60965 / 40648
↖ ↑ ↗
← N 56.255557°
W 12.554627°		 ← 169.66 m → N 56.255557°
W 12.551880°		 →
↑
169.66 m
↓
↑
169.66 m
↓
N 56.254032°
W 12.554627°		 ← 169.67 m →
28 785 m²		 N 56.254032°
W 12.551880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465129852294922 y=0.310123443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465129852294922 × 217)
    floor (0.465129852294922 × 131072)
    floor (60965.5)     		tx = 60965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310123443603516 × 217)
    floor (0.310123443603516 × 131072)
    floor (40648.5)     		ty = 40648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60965 / 40648 ti = "17/60965/40648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60965/40648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60965 ÷ 217
    60965 ÷ 131072     		x = 0.465126037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40648 ÷ 217
    40648 ÷ 131072     		y = 0.31011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465126037597656 × 2 - 1) × π
    -0.0697479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21911957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31011962890625 × 2 - 1) × π
    0.3797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19305355774396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21911957} λ = -0.21911957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19305355774396))-π/2
    2×atan(3.29713383999495)-π/2
    2×1.27632051342849-π/2
    2.55264102685698-1.57079632675     		φ = 0.98184470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21911957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.554627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98184470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.255557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60965 KachelY 40648 -0.21911957 0.98184470 -12.554627 56.255557
    Oben rechts KachelX + 1 60966 KachelY 40648 -0.21907163 0.98184470 -12.551880 56.255557
    Unten links KachelX 60965 KachelY + 1 40649 -0.21911957 0.98181807 -12.554627 56.254032
    Unten rechts KachelX + 1 60966 KachelY + 1 40649 -0.21907163 0.98181807 -12.551880 56.254032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98184470-0.98181807) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dl = 169.659730000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98184470-0.98181807) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dr = 169.659730000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21911957--0.21907163) × cos(0.98184470) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555489581384978 × 6371000     		do = 169.660816456882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21911957--0.21907163) × cos(0.98181807) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555511724658718 × 6371000     		du = 169.66757958265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98184470)-sin(0.98181807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555489581384978-0.555511724658718)×R²
    abs(-0.21907163--0.21911957)×2.21432737403937e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21432737403937e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21432737403937e-05×40589641000000     		ar = 28785.1820285686m²