Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60965 / 33306
↖ ↑ ↗
← N 65.917349°
W 12.554627°		 ← 124.63 m → N 65.917349°
W 12.551880°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
N 65.916228°
W 12.554627°		 ← 124.64 m →
15 531 m²		 N 65.916228°
W 12.551880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465129852294922 y=0.254108428955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465129852294922 × 217)
    floor (0.465129852294922 × 131072)
    floor (60965.5)     		tx = 60965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254108428955078 × 217)
    floor (0.254108428955078 × 131072)
    floor (33306.5)     		ty = 33306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60965 / 33306 ti = "17/60965/33306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60965/33306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60965 ÷ 217
    60965 ÷ 131072     		x = 0.465126037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33306 ÷ 217
    33306 ÷ 131072     		y = 0.254104614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465126037597656 × 2 - 1) × π
    -0.0697479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21911957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254104614257812 × 2 - 1) × π
    0.491790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54500627475441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21911957} λ = -0.21911957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54500627475441))-π/2
    2×atan(4.68800104298494)-π/2
    2×1.36063554831023-π/2
    2.72127109662047-1.57079632675     		φ = 1.15047477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21911957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.554627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15047477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.917349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60965 KachelY 33306 -0.21911957 1.15047477 -12.554627 65.917349
    Oben rechts KachelX + 1 60966 KachelY 33306 -0.21907163 1.15047477 -12.551880 65.917349
    Unten links KachelX 60965 KachelY + 1 33307 -0.21911957 1.15045521 -12.554627 65.916228
    Unten rechts KachelX + 1 60966 KachelY + 1 33307 -0.21907163 1.15045521 -12.551880 65.916228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15047477-1.15045521) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dl = 124.616759999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15047477-1.15045521) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dr = 124.616759999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21911957--0.21907163) × cos(1.15047477) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.408054041926648 × 6371000     		do = 124.6302077155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21911957--0.21907163) × cos(1.15045521) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.408071899302665 × 6371000     		du = 124.635661817785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15047477)-sin(1.15045521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408054041926648-0.408071899302665)×R²
    abs(-0.21907163--0.21911957)×1.78573760176715e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78573760176715e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78573760176715e-05×40589641000000     		ar = 15531.3525203771m²