Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60964 / 40993
↖ ↑ ↗
← N 55.725563°
W 12.557373°		 ← 172 m → N 55.725563°
W 12.554627°		 →
↑
172.02 m
↓
↑
172.02 m
↓
N 55.724016°
W 12.557373°		 ← 172.01 m →
29 588 m²		 N 55.724016°
W 12.554627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465122222900391 y=0.312755584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465122222900391 × 217)
    floor (0.465122222900391 × 131072)
    floor (60964.5)     		tx = 60964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312755584716797 × 217)
    floor (0.312755584716797 × 131072)
    floor (40993.5)     		ty = 40993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60964 / 40993 ti = "17/60964/40993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60964/40993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60964 ÷ 217
    60964 ÷ 131072     		x = 0.465118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40993 ÷ 217
    40993 ÷ 131072     		y = 0.312751770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.06976318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21916751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312751770019531 × 2 - 1) × π
    0.374496459960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.17651532737504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21916751} λ = -0.21916751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17651532737504))-π/2
    2×atan(3.24305351010315)-π/2
    2×1.27169544244774-π/2
    2.54339088489547-1.57079632675     		φ = 0.97259456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21916751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.557373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97259456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.725563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60964 KachelY 40993 -0.21916751 0.97259456 -12.557373 55.725563
    Oben rechts KachelX + 1 60965 KachelY 40993 -0.21911957 0.97259456 -12.554627 55.725563
    Unten links KachelX 60964 KachelY + 1 40994 -0.21916751 0.97256756 -12.557373 55.724016
    Unten rechts KachelX + 1 60965 KachelY + 1 40994 -0.21911957 0.97256756 -12.554627 55.724016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97259456-0.97256756) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dl = 172.016999999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97259456-0.97256756) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dr = 172.016999999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21916751--0.21911957) × cos(0.97259456) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563157415361068 × 6371000     		do = 172.002770323128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21916751--0.21911957) × cos(0.97256756) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563179726596041 × 6371000     		du = 172.00958474858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97259456)-sin(0.97256756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563157415361068-0.563179726596041)×R²
    abs(-0.21911957--0.21916751)×2.23112349736487e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23112349736487e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23112349736487e-05×40589641000000     		ar = 29587.9866429322m²