Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60964 / 40300
↖ ↑ ↗
← N 56.782827°
W 12.557373°		 ← 167.32 m → N 56.782827°
W 12.554627°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
N 56.781322°
W 12.557373°		 ← 167.32 m →
27 993 m²		 N 56.781322°
W 12.554627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465122222900391 y=0.307468414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465122222900391 × 217)
    floor (0.465122222900391 × 131072)
    floor (60964.5)     		tx = 60964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307468414306641 × 217)
    floor (0.307468414306641 × 131072)
    floor (40300.5)     		ty = 40300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60964 / 40300 ti = "17/60964/40300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60964/40300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60964 ÷ 217
    60964 ÷ 131072     		x = 0.465118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40300 ÷ 217
    40300 ÷ 131072     		y = 0.307464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.06976318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21916751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307464599609375 × 2 - 1) × π
    0.38507080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20973559881174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21916751} λ = -0.21916751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20973559881174))-π/2
    2×atan(3.35259810442942)-π/2
    2×1.28092181055856-π/2
    2.56184362111712-1.57079632675     		φ = 0.99104729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21916751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.557373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99104729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.782827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60964 KachelY 40300 -0.21916751 0.99104729 -12.557373 56.782827
    Oben rechts KachelX + 1 60965 KachelY 40300 -0.21911957 0.99104729 -12.554627 56.782827
    Unten links KachelX 60964 KachelY + 1 40301 -0.21916751 0.99102103 -12.557373 56.781322
    Unten rechts KachelX + 1 60965 KachelY + 1 40301 -0.21911957 0.99102103 -12.554627 56.781322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99104729-0.99102103) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dl = 167.302460000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99104729-0.99102103) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dr = 167.302460000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21916751--0.21911957) × cos(0.99104729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547813998188538 × 6371000     		do = 167.31649577908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21916751--0.21911957) × cos(0.99102103) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547835967119787 × 6371000     		du = 167.323205656164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99104729)-sin(0.99102103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547813998188538-0.547835967119787)×R²
    abs(-0.21911957--0.21916751)×2.19689312483951e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19689312483951e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19689312483951e-05×40589641000000     		ar = 27993.0226335337m²