Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60962 / 40642
↖ ↑ ↗
← N 56.264710°
W 12.562866°		 ← 169.62 m → N 56.264710°
W 12.560120°		 →
↑
169.60 m
↓
↑
169.60 m
↓
N 56.263185°
W 12.562866°		 ← 169.63 m →
28 767 m²		 N 56.263185°
W 12.560120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465106964111328 y=0.310077667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465106964111328 × 217)
    floor (0.465106964111328 × 131072)
    floor (60962.5)     		tx = 60962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310077667236328 × 217)
    floor (0.310077667236328 × 131072)
    floor (40642.5)     		ty = 40642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60962 / 40642 ti = "17/60962/40642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60962/40642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60962 ÷ 217
    60962 ÷ 131072     		x = 0.465103149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40642 ÷ 217
    40642 ÷ 131072     		y = 0.310073852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465103149414062 × 2 - 1) × π
    -0.069793701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21926338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310073852539062 × 2 - 1) × π
    0.379852294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19334117914168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21926338} λ = -0.21926338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19334117914168))-π/2
    2×atan(3.29808230263101)-π/2
    2×1.27640038922096-π/2
    2.55280077844193-1.57079632675     		φ = 0.98200445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21926338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.562866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98200445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.264710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60962 KachelY 40642 -0.21926338 0.98200445 -12.562866 56.264710
    Oben rechts KachelX + 1 60963 KachelY 40642 -0.21921544 0.98200445 -12.560120 56.264710
    Unten links KachelX 60962 KachelY + 1 40643 -0.21926338 0.98197783 -12.562866 56.263185
    Unten rechts KachelX + 1 60963 KachelY + 1 40643 -0.21921544 0.98197783 -12.560120 56.263185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98200445-0.98197783) × R
    2.66199999999772e-05 × 6371000     		dl = 169.596019999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98200445-0.98197783) × R
    2.66199999999772e-05 × 6371000     		dr = 169.596019999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21926338--0.21921544) × cos(0.98200445) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555356738418937 × 6371000     		do = 169.620242795577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21926338--0.21921544) × cos(0.98197783) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5553788757396 × 6371000     		du = 169.627004103122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98200445)-sin(0.98197783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555356738418937-0.5553788757396)×R²
    abs(-0.21921544--0.21926338)×2.21373206623632e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21373206623632e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21373206623632e-05×40589641000000     		ar = 28767.4914365872m²