Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60961 / 40991
↖ ↑ ↗
← N 55.728657°
W 12.565613°		 ← 171.99 m → N 55.728657°
W 12.562866°		 →
↑
172.02 m
↓
↑
172.02 m
↓
N 55.727110°
W 12.565613°		 ← 172 m →
29 586 m²		 N 55.727110°
W 12.562866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465099334716797 y=0.312740325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465099334716797 × 217)
    floor (0.465099334716797 × 131072)
    floor (60961.5)     		tx = 60961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312740325927734 × 217)
    floor (0.312740325927734 × 131072)
    floor (40991.5)     		ty = 40991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60961 / 40991 ti = "17/60961/40991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60961/40991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60961 ÷ 217
    60961 ÷ 131072     		x = 0.465095520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40991 ÷ 217
    40991 ÷ 131072     		y = 0.312736511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465095520019531 × 2 - 1) × π
    -0.0698089599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21931132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312736511230469 × 2 - 1) × π
    0.374526977539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.17661120117428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21931132} λ = -0.21931132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17661120117428))-π/2
    2×atan(3.2433644488695)-π/2
    2×1.27172243739893-π/2
    2.54344487479787-1.57079632675     		φ = 0.97264855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21931132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.565613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97264855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.728657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60961 KachelY 40991 -0.21931132 0.97264855 -12.565613 55.728657
    Oben rechts KachelX + 1 60962 KachelY 40991 -0.21926338 0.97264855 -12.562866 55.728657
    Unten links KachelX 60961 KachelY + 1 40992 -0.21931132 0.97262155 -12.565613 55.727110
    Unten rechts KachelX + 1 60962 KachelY + 1 40992 -0.21926338 0.97262155 -12.562866 55.727110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97264855-0.97262155) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dl = 172.016999999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97264855-0.97262155) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dr = 172.016999999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21931132--0.21926338) × cos(0.97264855) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563112799923312 × 6371000     		do = 171.989143620036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21931132--0.21926338) × cos(0.97262155) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563135111979201 × 6371000     		du = 171.995958296217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97264855)-sin(0.97262155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563112799923312-0.563135111979201)×R²
    abs(-0.21926338--0.21931132)×2.23120558888734e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23120558888734e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23120558888734e-05×40589641000000     		ar = 29585.6426398889m²