Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60959 / 40528
↖ ↑ ↗
← N 56.438204°
W 12.571106°		 ← 168.85 m → N 56.438204°
W 12.568359°		 →
↑
168.83 m
↓
↑
168.83 m
↓
N 56.436685°
W 12.571106°		 ← 168.86 m →
28 508 m²		 N 56.436685°
W 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465084075927734 y=0.309207916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465084075927734 × 217)
    floor (0.465084075927734 × 131072)
    floor (60959.5)     		tx = 60959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309207916259766 × 217)
    floor (0.309207916259766 × 131072)
    floor (40528.5)     		ty = 40528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60959 / 40528 ti = "17/60959/40528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60959/40528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60959 ÷ 217
    60959 ÷ 131072     		x = 0.465080261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40528 ÷ 217
    40528 ÷ 131072     		y = 0.3092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465080261230469 × 2 - 1) × π
    -0.0698394775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21940719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3092041015625 × 2 - 1) × π
    0.381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19880598569836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21940719} λ = -0.21940719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19880598569836))-π/2
    2×atan(3.31615502140182)-π/2
    2×1.27791440257009-π/2
    2.55582880514018-1.57079632675     		φ = 0.98503248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21940719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.571106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98503248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.438204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60959 KachelY 40528 -0.21940719 0.98503248 -12.571106 56.438204
    Oben rechts KachelX + 1 60960 KachelY 40528 -0.21935925 0.98503248 -12.568359 56.438204
    Unten links KachelX 60959 KachelY + 1 40529 -0.21940719 0.98500598 -12.571106 56.436685
    Unten rechts KachelX + 1 60960 KachelY + 1 40529 -0.21935925 0.98500598 -12.568359 56.436685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98503248-0.98500598) × R
    2.65000000000404e-05 × 6371000     		dl = 168.831500000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98503248-0.98500598) × R
    2.65000000000404e-05 × 6371000     		dr = 168.831500000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21940719--0.21935925) × cos(0.98503248) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552836049479322 × 6371000     		do = 168.850359510886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21940719--0.21935925) × cos(0.98500598) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55285813147145 × 6371000     		du = 168.857103919672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98503248)-sin(0.98500598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552836049479322-0.55285813147145)×R²
    abs(-0.21935925--0.21940719)×2.20819921278315e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20819921278315e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20819921278315e-05×40589641000000     		ar = 28507.8288078457m²