Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60958 / 40334
↖ ↑ ↗
← N 56.731636°
W 12.573853°		 ← 167.54 m → N 56.731636°
W 12.571106°		 →
↑
167.56 m
↓
↑
167.56 m
↓
N 56.730129°
W 12.573853°		 ← 167.55 m →
28 074 m²		 N 56.730129°
W 12.571106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465076446533203 y=0.307727813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465076446533203 × 217)
    floor (0.465076446533203 × 131072)
    floor (60958.5)     		tx = 60958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307727813720703 × 217)
    floor (0.307727813720703 × 131072)
    floor (40334.5)     		ty = 40334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60958 / 40334 ti = "17/60958/40334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60958/40334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60958 ÷ 217
    60958 ÷ 131072     		x = 0.465072631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40334 ÷ 217
    40334 ÷ 131072     		y = 0.307723999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465072631835938 × 2 - 1) × π
    -0.069854736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21945513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307723999023438 × 2 - 1) × π
    0.384552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20810574422466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21945513} λ = -0.21945513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20810574422466))-π/2
    2×atan(3.34713830757638)-π/2
    2×1.28047507754278-π/2
    2.56095015508556-1.57079632675     		φ = 0.99015383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21945513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.573853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99015383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.731636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60958 KachelY 40334 -0.21945513 0.99015383 -12.573853 56.731636
    Oben rechts KachelX + 1 60959 KachelY 40334 -0.21940719 0.99015383 -12.571106 56.731636
    Unten links KachelX 60958 KachelY + 1 40335 -0.21945513 0.99012753 -12.573853 56.730129
    Unten rechts KachelX + 1 60959 KachelY + 1 40335 -0.21940719 0.99012753 -12.571106 56.730129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99015383-0.99012753) × R
    2.63000000000346e-05 × 6371000     		dl = 167.557300000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99015383-0.99012753) × R
    2.63000000000346e-05 × 6371000     		dr = 167.557300000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21945513--0.21940719) × cos(0.99015383) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548561248213799 × 6371000     		do = 167.54472517101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21945513--0.21940719) × cos(0.99012753) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548583237726907 × 6371000     		du = 167.551441334324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99015383)-sin(0.99012753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548561248213799-0.548583237726907)×R²
    abs(-0.21940719--0.21945513)×2.1989513107834e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1989513107834e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1989513107834e-05×40589641000000     		ar = 28073.9044517583m²