Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60958 / 33954
↖ ↑ ↗
← N 65.180724°
W 12.573853°		 ← 128.20 m → N 65.180724°
W 12.571106°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
N 65.179572°
W 12.573853°		 ← 128.21 m →
16 434 m²		 N 65.179572°
W 12.571106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465076446533203 y=0.259052276611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465076446533203 × 217)
    floor (0.465076446533203 × 131072)
    floor (60958.5)     		tx = 60958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259052276611328 × 217)
    floor (0.259052276611328 × 131072)
    floor (33954.5)     		ty = 33954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60958 / 33954 ti = "17/60958/33954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60958/33954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60958 ÷ 217
    60958 ÷ 131072     		x = 0.465072631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33954 ÷ 217
    33954 ÷ 131072     		y = 0.259048461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465072631835938 × 2 - 1) × π
    -0.069854736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21945513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259048461914062 × 2 - 1) × π
    0.481903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51394316380061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21945513} λ = -0.21945513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51394316380061))-π/2
    2×atan(4.54461567364826)-π/2
    2×1.35420728799221-π/2
    2.70841457598443-1.57079632675     		φ = 1.13761825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21945513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.573853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13761825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.180724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60958 KachelY 33954 -0.21945513 1.13761825 -12.573853 65.180724
    Oben rechts KachelX + 1 60959 KachelY 33954 -0.21940719 1.13761825 -12.571106 65.180724
    Unten links KachelX 60958 KachelY + 1 33955 -0.21945513 1.13759813 -12.573853 65.179572
    Unten rechts KachelX + 1 60959 KachelY + 1 33955 -0.21940719 1.13759813 -12.571106 65.179572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13761825-1.13759813) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13761825-1.13759813) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21945513--0.21940719) × cos(1.13761825) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419757455291122 × 6371000     		do = 128.204731402798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21945513--0.21940719) × cos(1.13759813) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419775716848799 × 6371000     		du = 128.210308952565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13761825)-sin(1.13759813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419757455291122-0.419775716848799)×R²
    abs(-0.21940719--0.21945513)×1.82615576772016e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82615576772016e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82615576772016e-05×40589641000000     		ar = 16434.2194350067m²