Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60958 / 14246
↖ ↑ ↗
← N 70.776061°
E154.852295°		 ← 201.11 m → N 70.776061°
E154.857788°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
N 70.774252°
E154.852295°		 ← 201.13 m →
40 451 m²		 N 70.774252°
E154.857788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930152893066406 y=0.217384338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930152893066406 × 216)
    floor (0.930152893066406 × 65536)
    floor (60958.5)     		tx = 60958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217384338378906 × 216)
    floor (0.217384338378906 × 65536)
    floor (14246.5)     		ty = 14246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60958 / 14246 ti = "16/60958/14246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60958/14246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60958 ÷ 216
    60958 ÷ 65536     		x = 0.930145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14246 ÷ 216
    14246 ÷ 65536     		y = 0.217376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930145263671875 × 2 - 1) × π
    0.86029052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.70268240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217376708984375 × 2 - 1) × π
    0.56524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77577450952536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70268240} λ = 2.70268240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77577450952536))-π/2
    2×atan(5.90485273040445)-π/2
    2×1.40303580855929-π/2
    2.80607161711859-1.57079632675     		φ = 1.23527529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70268240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23527529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.776061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60958 KachelY 14246 2.70268240 1.23527529 154.852295 70.776061
    Oben rechts KachelX + 1 60959 KachelY 14246 2.70277827 1.23527529 154.857788 70.776061
    Unten links KachelX 60958 KachelY + 1 14247 2.70268240 1.23524372 154.852295 70.774252
    Unten rechts KachelX + 1 60959 KachelY + 1 14247 2.70277827 1.23524372 154.857788 70.774252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23527529-1.23524372) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dl = 201.132469999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23527529-1.23524372) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dr = 201.132469999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70268240-2.70277827) × cos(1.23527529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329261197745419 × 6371000     		do = 201.108712718449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70268240-2.70277827) × cos(1.23524372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329291007202793 × 6371000     		du = 201.126919970444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23527529)-sin(1.23524372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329261197745419-0.329291007202793)×R²
    abs(2.70277827-2.70268240)×2.98094573744079e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98094573744079e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98094573744079e-05×40589641000000     		ar = 40451.3231658153m²