Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60957 / 40989
↖ ↑ ↗
← N 55.731750°
W 12.576599°		 ← 171.94 m → N 55.731750°
W 12.573853°		 →
↑
171.95 m
↓
↑
171.95 m
↓
N 55.730203°
W 12.576599°		 ← 171.95 m →
29 566 m²		 N 55.730203°
W 12.573853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465068817138672 y=0.312725067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465068817138672 × 217)
    floor (0.465068817138672 × 131072)
    floor (60957.5)     		tx = 60957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312725067138672 × 217)
    floor (0.312725067138672 × 131072)
    floor (40989.5)     		ty = 40989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60957 / 40989 ti = "17/60957/40989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60957/40989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60957 ÷ 217
    60957 ÷ 131072     		x = 0.465065002441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40989 ÷ 217
    40989 ÷ 131072     		y = 0.312721252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465065002441406 × 2 - 1) × π
    -0.0698699951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21950306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312721252441406 × 2 - 1) × π
    0.374557495117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.17670707497352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21950306} λ = -0.21950306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17670707497352))-π/2
    2×atan(3.24367541744817)-π/2
    2×1.27174943021145-π/2
    2.54349886042291-1.57079632675     		φ = 0.97270253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21950306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.576599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97270253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.731750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60957 KachelY 40989 -0.21950306 0.97270253 -12.576599 55.731750
    Oben rechts KachelX + 1 60958 KachelY 40989 -0.21945513 0.97270253 -12.573853 55.731750
    Unten links KachelX 60957 KachelY + 1 40990 -0.21950306 0.97267554 -12.576599 55.730203
    Unten rechts KachelX + 1 60958 KachelY + 1 40990 -0.21945513 0.97267554 -12.573853 55.730203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97270253-0.97267554) × R
    2.6989999999949e-05 × 6371000     		dl = 171.953289999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97270253-0.97267554) × R
    2.6989999999949e-05 × 6371000     		dr = 171.953289999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21950306--0.21945513) × cos(0.97270253) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563068191108232 × 6371000     		do = 171.939645865243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21950306--0.21945513) × cos(0.97267554) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563090495720866 × 6371000     		du = 171.946456847036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97270253)-sin(0.97267554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563068191108232-0.563090495720866)×R²
    abs(-0.21945513--0.21950306)×2.23046126345272e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23046126345272e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23046126345272e-05×40589641000000     		ar = 29566.1733749702m²