Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60955 / 41357
↖ ↑ ↗
← N 55.158474°
W 12.582092°		 ← 174.49 m → N 55.158474°
W 12.579346°		 →
↑
174.50 m
↓
↑
174.50 m
↓
N 55.156905°
W 12.582092°		 ← 174.50 m →
30 450 m²		 N 55.156905°
W 12.579346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465053558349609 y=0.315532684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465053558349609 × 217)
    floor (0.465053558349609 × 131072)
    floor (60955.5)     		tx = 60955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315532684326172 × 217)
    floor (0.315532684326172 × 131072)
    floor (41357.5)     		ty = 41357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60955 / 41357 ti = "17/60955/41357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60955/41357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60955 ÷ 217
    60955 ÷ 131072     		x = 0.465049743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41357 ÷ 217
    41357 ÷ 131072     		y = 0.315528869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465049743652344 × 2 - 1) × π
    -0.0699005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21959894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315528869628906 × 2 - 1) × π
    0.368942260742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.15906629591334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21959894} λ = -0.21959894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15906629591334))-π/2
    2×atan(3.18695621244464)-π/2
    2×1.26674665408459-π/2
    2.53349330816918-1.57079632675     		φ = 0.96269698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21959894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.582092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96269698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.158474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60955 KachelY 41357 -0.21959894 0.96269698 -12.582092 55.158474
    Oben rechts KachelX + 1 60956 KachelY 41357 -0.21955100 0.96269698 -12.579346 55.158474
    Unten links KachelX 60955 KachelY + 1 41358 -0.21959894 0.96266959 -12.582092 55.156905
    Unten rechts KachelX + 1 60956 KachelY + 1 41358 -0.21955100 0.96266959 -12.579346 55.156905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96269698-0.96266959) × R
    2.73900000000715e-05 × 6371000     		dl = 174.501690000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96269698-0.96266959) × R
    2.73900000000715e-05 × 6371000     		dr = 174.501690000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21959894--0.21955100) × cos(0.96269698) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.571308559669711 × 6371000     		do = 174.492339605442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21959894--0.21955100) × cos(0.96266959) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.571331039396893 × 6371000     		du = 174.499205492752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96269698)-sin(0.96266959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571308559669711-0.571331039396893)×R²
    abs(-0.21955100--0.21959894)×2.24797271811683e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24797271811683e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24797271811683e-05×40589641000000     		ar = 30449.8072096535m²