Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60955 / 40524
↖ ↑ ↗
← N 56.444277°
W 12.582092°		 ← 168.82 m → N 56.444277°
W 12.579346°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
N 56.442759°
W 12.582092°		 ← 168.83 m →
28 493 m²		 N 56.442759°
W 12.579346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465053558349609 y=0.309177398681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465053558349609 × 217)
    floor (0.465053558349609 × 131072)
    floor (60955.5)     		tx = 60955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309177398681641 × 217)
    floor (0.309177398681641 × 131072)
    floor (40524.5)     		ty = 40524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60955 / 40524 ti = "17/60955/40524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60955/40524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60955 ÷ 217
    60955 ÷ 131072     		x = 0.465049743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40524 ÷ 217
    40524 ÷ 131072     		y = 0.309173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465049743652344 × 2 - 1) × π
    -0.0699005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21959894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309173583984375 × 2 - 1) × π
    0.38165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19899773329684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21959894} λ = -0.21959894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19899773329684))-π/2
    2×atan(3.31679094713003)-π/2
    2×1.27796740082836-π/2
    2.55593480165673-1.57079632675     		φ = 0.98513847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21959894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.582092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98513847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.444277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60955 KachelY 40524 -0.21959894 0.98513847 -12.582092 56.444277
    Oben rechts KachelX + 1 60956 KachelY 40524 -0.21955100 0.98513847 -12.579346 56.444277
    Unten links KachelX 60955 KachelY + 1 40525 -0.21959894 0.98511198 -12.582092 56.442759
    Unten rechts KachelX + 1 60956 KachelY + 1 40525 -0.21955100 0.98511198 -12.579346 56.442759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98513847-0.98511198) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98513847-0.98511198) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21959894--0.21955100) × cos(0.98513847) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552747725962161 × 6371000     		do = 168.823383235297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21959894--0.21955100) × cos(0.98511198) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552769801173626 × 6371000     		du = 168.830125573095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98513847)-sin(0.98511198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552747725962161-0.552769801173626)×R²
    abs(-0.21955100--0.21959894)×2.20752114649114e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20752114649114e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20752114649114e-05×40589641000000     		ar = 28492.5182351455m²