Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60954 / 40378
↖ ↑ ↗
← N 56.665284°
W 12.584839°		 ← 167.81 m → N 56.665284°
W 12.582092°		 →
↑
167.81 m
↓
↑
167.81 m
↓
N 56.663774°
W 12.584839°		 ← 167.81 m →
28 160 m²		 N 56.663774°
W 12.582092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465045928955078 y=0.308063507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465045928955078 × 217)
    floor (0.465045928955078 × 131072)
    floor (60954.5)     		tx = 60954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308063507080078 × 217)
    floor (0.308063507080078 × 131072)
    floor (40378.5)     		ty = 40378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60954 / 40378 ti = "17/60954/40378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60954/40378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60954 ÷ 217
    60954 ÷ 131072     		x = 0.465042114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40378 ÷ 217
    40378 ÷ 131072     		y = 0.308059692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465042114257812 × 2 - 1) × π
    -0.069915771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21964687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308059692382812 × 2 - 1) × π
    0.383880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20599652064137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21964687} λ = -0.21964687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20599652064137))-π/2
    2×atan(3.34008588470443)-π/2
    2×1.27989604808791-π/2
    2.55979209617582-1.57079632675     		φ = 0.98899577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21964687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.584839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98899577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.665284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60954 KachelY 40378 -0.21964687 0.98899577 -12.584839 56.665284
    Oben rechts KachelX + 1 60955 KachelY 40378 -0.21959894 0.98899577 -12.582092 56.665284
    Unten links KachelX 60954 KachelY + 1 40379 -0.21964687 0.98896943 -12.584839 56.663774
    Unten rechts KachelX + 1 60955 KachelY + 1 40379 -0.21959894 0.98896943 -12.582092 56.663774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98899577-0.98896943) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dl = 167.812140000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98899577-0.98896943) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dr = 167.812140000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21964687--0.21959894) × cos(0.98899577) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54952914613819 × 6371000     		do = 167.80533560893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21964687--0.21959894) × cos(0.98896943) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549551152347107 × 6371000     		du = 167.812055469557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98899577)-sin(0.98896943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54952914613819-0.549551152347107)×R²
    abs(-0.21959894--0.21964687)×2.20062089170137e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20062089170137e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20062089170137e-05×40589641000000     		ar = 28160.3363107454m²