Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60952 / 14296
↖ ↑ ↗
← N 70.685422°
E154.819336°		 ← 202.02 m → N 70.685422°
E154.824829°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
N 70.683605°
E154.819336°		 ← 202.04 m →
40 815 m²		 N 70.683605°
E154.824829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930061340332031 y=0.218147277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930061340332031 × 216)
    floor (0.930061340332031 × 65536)
    floor (60952.5)     		tx = 60952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218147277832031 × 216)
    floor (0.218147277832031 × 65536)
    floor (14296.5)     		ty = 14296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60952 / 14296 ti = "16/60952/14296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60952/14296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60952 ÷ 216
    60952 ÷ 65536     		x = 0.9300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14296 ÷ 216
    14296 ÷ 65536     		y = 0.2181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9300537109375 × 2 - 1) × π
    0.860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70210716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2181396484375 × 2 - 1) × π
    0.563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77098081956335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70210716} λ = 2.70210716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77098081956335))-π/2
    2×atan(5.87661443403756)-π/2
    2×1.40224483205659-π/2
    2.80448966411318-1.57079632675     		φ = 1.23369334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70210716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23369334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.685422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60952 KachelY 14296 2.70210716 1.23369334 154.819336 70.685422
    Oben rechts KachelX + 1 60953 KachelY 14296 2.70220303 1.23369334 154.824829 70.685422
    Unten links KachelX 60952 KachelY + 1 14297 2.70210716 1.23366163 154.819336 70.683605
    Unten rechts KachelX + 1 60953 KachelY + 1 14297 2.70220303 1.23366163 154.824829 70.683605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23369334-1.23366163) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23369334-1.23366163) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70210716-2.70220303) × cos(1.23369334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330754523820752 × 6371000     		do = 202.020818021885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70210716-2.70220303) × cos(1.23366163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330784448914963 × 6371000     		du = 202.039095903445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23369334)-sin(1.23366163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330754523820752-0.330784448914963)×R²
    abs(2.70220303-2.70210716)×2.99250942112361e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99250942112361e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99250942112361e-05×40589641000000     		ar = 40814.9828612952m²