Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60951 / 40310
↖ ↑ ↗
← N 56.767778°
W 12.593078°		 ← 167.35 m → N 56.767778°
W 12.590332°		 →
↑
167.37 m
↓
↑
167.37 m
↓
N 56.766273°
W 12.593078°		 ← 167.36 m →
28 009 m²		 N 56.766273°
W 12.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465023040771484 y=0.307544708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465023040771484 × 217)
    floor (0.465023040771484 × 131072)
    floor (60951.5)     		tx = 60951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307544708251953 × 217)
    floor (0.307544708251953 × 131072)
    floor (40310.5)     		ty = 40310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60951 / 40310 ti = "17/60951/40310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60951/40310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60951 ÷ 217
    60951 ÷ 131072     		x = 0.465019226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40310 ÷ 217
    40310 ÷ 131072     		y = 0.307540893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465019226074219 × 2 - 1) × π
    -0.0699615478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21979068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307540893554688 × 2 - 1) × π
    0.384918212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20925622981554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21979068} λ = -0.21979068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20925622981554))-π/2
    2×atan(3.35099135798442)-π/2
    2×1.28079048170541-π/2
    2.56158096341083-1.57079632675     		φ = 0.99078464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21979068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.593078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99078464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.767778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60951 KachelY 40310 -0.21979068 0.99078464 -12.593078 56.767778
    Oben rechts KachelX + 1 60952 KachelY 40310 -0.21974275 0.99078464 -12.590332 56.767778
    Unten links KachelX 60951 KachelY + 1 40311 -0.21979068 0.99075837 -12.593078 56.766273
    Unten rechts KachelX + 1 60952 KachelY + 1 40311 -0.21974275 0.99075837 -12.590332 56.766273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99078464-0.99075837) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dl = 167.366169999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99078464-0.99075837) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dr = 167.366169999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21979068--0.21974275) × cos(0.99078464) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548033712321877 × 6371000     		do = 167.34868690305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21979068--0.21974275) × cos(0.99075837) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548055685838333 × 6371000     		du = 167.355396780641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99078464)-sin(0.99075837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548033712321877-0.548055685838333)×R²
    abs(-0.21974275--0.21979068)×2.19735164567192e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19735164567192e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19735164567192e-05×40589641000000     		ar = 28009.0702863741m²