Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60951 / 14294
↖ ↑ ↗
← N 70.689055°
E154.813843°		 ← 202.01 m → N 70.689055°
E154.819336°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
N 70.687238°
E154.813843°		 ← 202.02 m →
40 799 m²		 N 70.687238°
E154.819336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930046081542969 y=0.218116760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930046081542969 × 216)
    floor (0.930046081542969 × 65536)
    floor (60951.5)     		tx = 60951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218116760253906 × 216)
    floor (0.218116760253906 × 65536)
    floor (14294.5)     		ty = 14294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60951 / 14294 ti = "16/60951/14294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60951/14294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60951 ÷ 216
    60951 ÷ 65536     		x = 0.930038452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14294 ÷ 216
    14294 ÷ 65536     		y = 0.218109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930038452148438 × 2 - 1) × π
    0.860076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70201128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218109130859375 × 2 - 1) × π
    0.56378173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77117256716183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70201128} λ = 2.70201128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77117256716183))-π/2
    2×atan(5.87774136878255)-π/2
    2×1.40227653988069-π/2
    2.80455307976137-1.57079632675     		φ = 1.23375675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70201128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.813843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23375675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.689055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60951 KachelY 14294 2.70201128 1.23375675 154.813843 70.689055
    Oben rechts KachelX + 1 60952 KachelY 14294 2.70210716 1.23375675 154.819336 70.689055
    Unten links KachelX 60951 KachelY + 1 14295 2.70201128 1.23372505 154.813843 70.687238
    Unten rechts KachelX + 1 60952 KachelY + 1 14295 2.70210716 1.23372505 154.819336 70.687238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23375675-1.23372505) × R
    3.16999999998568e-05 × 6371000     		dl = 201.960699999088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23375675-1.23372505) × R
    3.16999999998568e-05 × 6371000     		dr = 201.960699999088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70201128-2.70210716) × cos(1.23375675) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.330694682071993 × 6371000     		do = 202.00533597261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70201128-2.70210716) × cos(1.23372505) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.330724598393959 × 6371000     		du = 202.023610402159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23375675)-sin(1.23372505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330694682071993-0.330724598393959)×R²
    abs(2.70210716-2.70201128)×2.99163219663057e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.99163219663057e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.99163219663057e-05×40589641000000     		ar = 40798.984418151m²