Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60950 / 14295
↖ ↑ ↗
← N 70.687238°
E154.808350°		 ← 202 m → N 70.687238°
E154.813843°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
N 70.685422°
E154.808350°		 ← 202.02 m →
40 811 m²		 N 70.685422°
E154.813843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930030822753906 y=0.218132019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930030822753906 × 216)
    floor (0.930030822753906 × 65536)
    floor (60950.5)     		tx = 60950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218132019042969 × 216)
    floor (0.218132019042969 × 65536)
    floor (14295.5)     		ty = 14295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60950 / 14295 ti = "16/60950/14295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60950/14295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60950 ÷ 216
    60950 ÷ 65536     		x = 0.930023193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14295 ÷ 216
    14295 ÷ 65536     		y = 0.218124389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930023193359375 × 2 - 1) × π
    0.86004638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70191541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218124389648438 × 2 - 1) × π
    0.563751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77107669336259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70191541} λ = 2.70191541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77107669336259))-π/2
    2×atan(5.87717787439918)-π/2
    2×1.40226068668586-π/2
    2.80452137337172-1.57079632675     		φ = 1.23372505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70191541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.808350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23372505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.687238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60950 KachelY 14295 2.70191541 1.23372505 154.808350 70.687238
    Oben rechts KachelX + 1 60951 KachelY 14295 2.70201128 1.23372505 154.813843 70.687238
    Unten links KachelX 60950 KachelY + 1 14296 2.70191541 1.23369334 154.808350 70.685422
    Unten rechts KachelX + 1 60951 KachelY + 1 14296 2.70201128 1.23369334 154.813843 70.685422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23372505-1.23369334) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23372505-1.23369334) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70191541-2.70201128) × cos(1.23372505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330724598393959 × 6371000     		do = 202.002539937188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70191541-2.70201128) × cos(1.23369334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330754523820752 × 6371000     		du = 202.020818021885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23372505)-sin(1.23369334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330724598393959-0.330754523820752)×R²
    abs(2.70201128-2.70191541)×2.9925426792865e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9925426792865e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9925426792865e-05×40589641000000     		ar = 40811.290262401m²