Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60948 / 84088
↖ ↑ ↗
← S 45.321254°
W 12.601319°		 ← 214.75 m → S 45.321254°
W 12.598572°		 →
↑
214.77 m
↓
↑
214.77 m
↓
S 45.323186°
W 12.601319°		 ← 214.75 m →
46 121 m²		 S 45.323186°
W 12.598572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465000152587891 y=0.641544342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465000152587891 × 217)
    floor (0.465000152587891 × 131072)
    floor (60948.5)     		tx = 60948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641544342041016 × 217)
    floor (0.641544342041016 × 131072)
    floor (84088.5)     		ty = 84088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60948 / 84088 ti = "17/60948/84088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60948/84088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60948 ÷ 217
    60948 ÷ 131072     		x = 0.464996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84088 ÷ 217
    84088 ÷ 131072     		y = 0.64154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.07000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21993450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.2830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.889325361751282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21993450} λ = -0.21993450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889325361751282))-π/2
    2×atan(0.410932890303493)-π/2
    2×0.389895608538244-π/2
    0.779791217076488-1.57079632675     		φ = -0.79100511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21993450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.601319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79100511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.321254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60948 KachelY 84088 -0.21993450 -0.79100511 -12.601319 -45.321254
    Oben rechts KachelX + 1 60949 KachelY 84088 -0.21988656 -0.79100511 -12.598572 -45.321254
    Unten links KachelX 60948 KachelY + 1 84089 -0.21993450 -0.79103882 -12.601319 -45.323186
    Unten rechts KachelX + 1 60949 KachelY + 1 84089 -0.21988656 -0.79103882 -12.598572 -45.323186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79100511--0.79103882) × R
    3.37100000000756e-05 × 6371000     		dl = 214.766410000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79100511--0.79103882) × R
    3.37100000000756e-05 × 6371000     		dr = 214.766410000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21993450--0.21988656) × cos(-0.79100511) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.703130977066346 × 6371000     		do = 214.754298987395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21993450--0.21988656) × cos(-0.79103882) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.703107006822262 × 6371000     		du = 214.746977857858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79100511)-sin(-0.79103882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703130977066346-0.703107006822262)×R²
    abs(-0.21988656--0.21993450)×2.39702440840706e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39702440840706e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39702440840706e-05×40589641000000     		ar = 46121.2236636598m²