Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60946 / 40366
↖ ↑ ↗
← N 56.683391°
W 12.606812°		 ← 167.76 m → N 56.683391°
W 12.604065°		 →
↑
167.75 m
↓
↑
167.75 m
↓
N 56.681883°
W 12.606812°		 ← 167.77 m →
28 142 m²		 N 56.681883°
W 12.604065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464984893798828 y=0.307971954345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464984893798828 × 217)
    floor (0.464984893798828 × 131072)
    floor (60946.5)     		tx = 60946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307971954345703 × 217)
    floor (0.307971954345703 × 131072)
    floor (40366.5)     		ty = 40366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60946 / 40366 ti = "17/60946/40366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60946/40366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60946 ÷ 217
    60946 ÷ 131072     		x = 0.464981079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40366 ÷ 217
    40366 ÷ 131072     		y = 0.307968139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464981079101562 × 2 - 1) × π
    -0.070037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22003037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307968139648438 × 2 - 1) × π
    0.384063720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20657176343681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22003037} λ = -0.22003037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20657176343681))-π/2
    2×atan(3.34200779777609)-π/2
    2×1.28005406645162-π/2
    2.56010813290323-1.57079632675     		φ = 0.98931181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22003037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.606812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98931181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.683391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60946 KachelY 40366 -0.22003037 0.98931181 -12.606812 56.683391
    Oben rechts KachelX + 1 60947 KachelY 40366 -0.21998243 0.98931181 -12.604065 56.683391
    Unten links KachelX 60946 KachelY + 1 40367 -0.22003037 0.98928548 -12.606812 56.681883
    Unten rechts KachelX + 1 60947 KachelY + 1 40367 -0.21998243 0.98928548 -12.604065 56.681883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98931181-0.98928548) × R
    2.63299999999633e-05 × 6371000     		dl = 167.748429999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98931181-0.98928548) × R
    2.63299999999633e-05 × 6371000     		dr = 167.748429999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22003037--0.21998243) × cos(0.98931181) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54926507532313 × 6371000     		do = 167.75969208671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22003037--0.21998243) × cos(0.98928548) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549287077749254 × 6371000     		du = 167.766412193991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98931181)-sin(0.98928548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54926507532313-0.549287077749254)×R²
    abs(-0.21998243--0.22003037)×2.20024261242679e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20024261242679e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20024261242679e-05×40589641000000     		ar = 28141.9886100633m²