Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60943 / 40576
↖ ↑ ↗
← N 56.365250°
W 12.615051°		 ← 169.17 m → N 56.365250°
W 12.612305°		 →
↑
169.15 m
↓
↑
169.15 m
↓
N 56.363729°
W 12.615051°		 ← 169.18 m →
28 616 m²		 N 56.363729°
W 12.612305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464962005615234 y=0.309574127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464962005615234 × 217)
    floor (0.464962005615234 × 131072)
    floor (60943.5)     		tx = 60943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309574127197266 × 217)
    floor (0.309574127197266 × 131072)
    floor (40576.5)     		ty = 40576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60943 / 40576 ti = "17/60943/40576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60943/40576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60943 ÷ 217
    60943 ÷ 131072     		x = 0.464958190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40576 ÷ 217
    40576 ÷ 131072     		y = 0.3095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464958190917969 × 2 - 1) × π
    -0.0700836181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22017418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3095703125 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1965050145166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22017418} λ = -0.22017418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1965050145166))-π/2
    2×atan(3.30853341617301)-π/2
    2×1.27727776268714-π/2
    2.55455552537428-1.57079632675     		φ = 0.98375920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22017418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.615051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98375920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.365250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60943 KachelY 40576 -0.22017418 0.98375920 -12.615051 56.365250
    Oben rechts KachelX + 1 60944 KachelY 40576 -0.22012624 0.98375920 -12.612305 56.365250
    Unten links KachelX 60943 KachelY + 1 40577 -0.22017418 0.98373265 -12.615051 56.363729
    Unten rechts KachelX + 1 60944 KachelY + 1 40577 -0.22012624 0.98373265 -12.612305 56.363729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98375920-0.98373265) × R
    2.65499999999586e-05 × 6371000     		dl = 169.150049999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98375920-0.98373265) × R
    2.65499999999586e-05 × 6371000     		dr = 169.150049999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22017418--0.22012624) × cos(0.98375920) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553896612603209 × 6371000     		do = 169.174282787815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22017418--0.22012624) × cos(0.98373265) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553918717551857 × 6371000     		du = 169.181034208114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98375920)-sin(0.98373265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553896612603209-0.553918717551857)×R²
    abs(-0.22012624--0.22017418)×2.21049486486269e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21049486486269e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21049486486269e-05×40589641000000     		ar = 28616.4093954191m²