Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60941 / 40507
↖ ↑ ↗
← N 56.470077°
W 12.620544°		 ← 168.67 m → N 56.470077°
W 12.617798°		 →
↑
168.70 m
↓
↑
168.70 m
↓
N 56.468560°
W 12.620544°		 ← 168.68 m →
28 456 m²		 N 56.468560°
W 12.617798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464946746826172 y=0.309047698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464946746826172 × 217)
    floor (0.464946746826172 × 131072)
    floor (60941.5)     		tx = 60941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309047698974609 × 217)
    floor (0.309047698974609 × 131072)
    floor (40507.5)     		ty = 40507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60941 / 40507 ti = "17/60941/40507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60941/40507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60941 ÷ 217
    60941 ÷ 131072     		x = 0.464942932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40507 ÷ 217
    40507 ÷ 131072     		y = 0.309043884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464942932128906 × 2 - 1) × π
    -0.0701141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22027005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309043884277344 × 2 - 1) × π
    0.381912231445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.19981266059039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22027005} λ = -0.22027005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19981266059039))-π/2
    2×atan(3.31949499225025)-π/2
    2×1.27819254896347-π/2
    2.55638509792695-1.57079632675     		φ = 0.98558877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22027005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.620544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98558877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.470077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60941 KachelY 40507 -0.22027005 0.98558877 -12.620544 56.470077
    Oben rechts KachelX + 1 60942 KachelY 40507 -0.22022212 0.98558877 -12.617798 56.470077
    Unten links KachelX 60941 KachelY + 1 40508 -0.22027005 0.98556229 -12.620544 56.468560
    Unten rechts KachelX + 1 60942 KachelY + 1 40508 -0.22022212 0.98556229 -12.617798 56.468560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98558877-0.98556229) × R
    2.64800000000509e-05 × 6371000     		dl = 168.704080000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98558877-0.98556229) × R
    2.64800000000509e-05 × 6371000     		dr = 168.704080000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22027005--0.22022212) × cos(0.98558877) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.552372413043073 × 6371000     		do = 168.673561362837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22027005--0.22022212) × cos(0.98556229) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.552394486510025 × 6371000     		du = 168.680301761514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98558877)-sin(0.98556229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552372413043073-0.552394486510025)×R²
    abs(-0.22022212--0.22027005)×2.20734669519329e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20734669519329e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20734669519329e-05×40589641000000     		ar = 28456.4865581997m²