Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60939 / 40571
↖ ↑ ↗
← N 56.372856°
W 12.626038°		 ← 169.14 m → N 56.372856°
W 12.623291°		 →
↑
169.15 m
↓
↑
169.15 m
↓
N 56.371335°
W 12.626038°		 ← 169.15 m →
28 611 m²		 N 56.371335°
W 12.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464931488037109 y=0.309535980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464931488037109 × 217)
    floor (0.464931488037109 × 131072)
    floor (60939.5)     		tx = 60939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309535980224609 × 217)
    floor (0.309535980224609 × 131072)
    floor (40571.5)     		ty = 40571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60939 / 40571 ti = "17/60939/40571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60939/40571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60939 ÷ 217
    60939 ÷ 131072     		x = 0.464927673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40571 ÷ 217
    40571 ÷ 131072     		y = 0.309532165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464927673339844 × 2 - 1) × π
    -0.0701446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22036593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309532165527344 × 2 - 1) × π
    0.380935668945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.1967446990147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22036593} λ = -0.22036593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1967446990147))-π/2
    2×atan(3.30932651538731)-π/2
    2×1.27734413627998-π/2
    2.55468827255995-1.57079632675     		φ = 0.98389195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22036593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.626038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98389195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.372856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60939 KachelY 40571 -0.22036593 0.98389195 -12.626038 56.372856
    Oben rechts KachelX + 1 60940 KachelY 40571 -0.22031799 0.98389195 -12.623291 56.372856
    Unten links KachelX 60939 KachelY + 1 40572 -0.22036593 0.98386540 -12.626038 56.371335
    Unten rechts KachelX + 1 60940 KachelY + 1 40572 -0.22031799 0.98386540 -12.623291 56.371335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98389195-0.98386540) × R
    2.65499999999586e-05 × 6371000     		dl = 169.150049999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98389195-0.98386540) × R
    2.65499999999586e-05 × 6371000     		dr = 169.150049999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22036593--0.22031799) × cos(0.98389195) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55378608200363 × 6371000     		do = 169.140523897647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22036593--0.22031799) × cos(0.98386540) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553808188904339 × 6371000     		du = 169.147275914154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98389195)-sin(0.98386540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55378608200363-0.553808188904339)×R²
    abs(-0.22031799--0.22036593)×2.21069007082519e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21069007082519e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21069007082519e-05×40589641000000     		ar = 28610.6991279273m²