Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60937 / 34087
↖ ↑ ↗
← N 65.026945°
W 12.631531°		 ← 128.95 m → N 65.026945°
W 12.628784°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
N 65.025785°
W 12.631531°		 ← 128.95 m →
16 628 m²		 N 65.025785°
W 12.628784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464916229248047 y=0.260066986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464916229248047 × 217)
    floor (0.464916229248047 × 131072)
    floor (60937.5)     		tx = 60937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260066986083984 × 217)
    floor (0.260066986083984 × 131072)
    floor (34087.5)     		ty = 34087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60937 / 34087 ti = "17/60937/34087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60937/34087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60937 ÷ 217
    60937 ÷ 131072     		x = 0.464912414550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34087 ÷ 217
    34087 ÷ 131072     		y = 0.260063171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464912414550781 × 2 - 1) × π
    -0.0701751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22046180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260063171386719 × 2 - 1) × π
    0.479873657226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.50756755615115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22046180} λ = -0.22046180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50756755615115))-π/2
    2×atan(4.51573315682858)-π/2
    2×1.35286530607193-π/2
    2.70573061214386-1.57079632675     		φ = 1.13493429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22046180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.631531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13493429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.026945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60937 KachelY 34087 -0.22046180 1.13493429 -12.631531 65.026945
    Oben rechts KachelX + 1 60938 KachelY 34087 -0.22041386 1.13493429 -12.628784 65.026945
    Unten links KachelX 60937 KachelY + 1 34088 -0.22046180 1.13491405 -12.631531 65.025785
    Unten rechts KachelX + 1 60938 KachelY + 1 34088 -0.22041386 1.13491405 -12.628784 65.025785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13493429-1.13491405) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13493429-1.13491405) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22046180--0.22041386) × cos(1.13493429) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.422192000037887 × 6371000     		do = 128.948304033716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22046180--0.22041386) × cos(1.13491405) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.422210347641635 × 6371000     		du = 128.953907864168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13493429)-sin(1.13491405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422192000037887-0.422210347641635)×R²
    abs(-0.22041386--0.22046180)×1.83476037482477e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83476037482477e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83476037482477e-05×40589641000000     		ar = 16628.1213195271m²