Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60930 / 40213
↖ ↑ ↗
← N 56.913501°
W 12.650757°		 ← 166.73 m → N 56.913501°
W 12.648010°		 →
↑
166.73 m
↓
↑
166.73 m
↓
N 56.912001°
W 12.650757°		 ← 166.74 m →
27 800 m²		 N 56.912001°
W 12.648010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464862823486328 y=0.306804656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464862823486328 × 217)
    floor (0.464862823486328 × 131072)
    floor (60930.5)     		tx = 60930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306804656982422 × 217)
    floor (0.306804656982422 × 131072)
    floor (40213.5)     		ty = 40213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60930 / 40213 ti = "17/60930/40213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60930/40213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60930 ÷ 217
    60930 ÷ 131072     		x = 0.464859008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40213 ÷ 217
    40213 ÷ 131072     		y = 0.306800842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464859008789062 × 2 - 1) × π
    -0.070281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22079736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306800842285156 × 2 - 1) × π
    0.386398315429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.21390610907868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22079736} λ = -0.22079736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21390610907868))-π/2
    2×atan(3.36660934594989)-π/2
    2×1.28206215100277-π/2
    2.56412430200554-1.57079632675     		φ = 0.99332798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22079736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.650757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99332798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.913501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60930 KachelY 40213 -0.22079736 0.99332798 -12.650757 56.913501
    Oben rechts KachelX + 1 60931 KachelY 40213 -0.22074942 0.99332798 -12.648010 56.913501
    Unten links KachelX 60930 KachelY + 1 40214 -0.22079736 0.99330181 -12.650757 56.912001
    Unten rechts KachelX + 1 60931 KachelY + 1 40214 -0.22074942 0.99330181 -12.648010 56.912001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99332798-0.99330181) × R
    2.61700000000475e-05 × 6371000     		dl = 166.729070000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99332798-0.99330181) × R
    2.61700000000475e-05 × 6371000     		dr = 166.729070000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22079736--0.22074942) × cos(0.99332798) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545904549490157 × 6371000     		do = 166.733300997385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22079736--0.22074942) × cos(0.99330181) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545926475769006 × 6371000     		du = 166.739997847328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99332798)-sin(0.99330181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545904549490157-0.545926475769006)×R²
    abs(-0.22074942--0.22079736)×2.19262788498931e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19262788498931e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19262788498931e-05×40589641000000     		ar = 27799.8464948396m²