Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60930 / 33279
↖ ↑ ↗
← N 65.947591°
W 12.650757°		 ← 124.48 m → N 65.947591°
W 12.648010°		 →
↑
124.49 m
↓
↑
124.49 m
↓
N 65.946472°
W 12.650757°		 ← 124.49 m →
15 497 m²		 N 65.946472°
W 12.648010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464862823486328 y=0.253902435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464862823486328 × 217)
    floor (0.464862823486328 × 131072)
    floor (60930.5)     		tx = 60930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253902435302734 × 217)
    floor (0.253902435302734 × 131072)
    floor (33279.5)     		ty = 33279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60930 / 33279 ti = "17/60930/33279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60930/33279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60930 ÷ 217
    60930 ÷ 131072     		x = 0.464859008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33279 ÷ 217
    33279 ÷ 131072     		y = 0.253898620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464859008789062 × 2 - 1) × π
    -0.070281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22079736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.253898620605469 × 2 - 1) × π
    0.492202758789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.54630057104415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22079736} λ = -0.22079736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54630057104415))-π/2
    2×atan(4.69407263371226)-π/2
    2×1.36089946375736-π/2
    2.72179892751472-1.57079632675     		φ = 1.15100260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22079736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.650757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15100260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.947591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60930 KachelY 33279 -0.22079736 1.15100260 -12.650757 65.947591
    Oben rechts KachelX + 1 60931 KachelY 33279 -0.22074942 1.15100260 -12.648010 65.947591
    Unten links KachelX 60930 KachelY + 1 33280 -0.22079736 1.15098306 -12.650757 65.946472
    Unten rechts KachelX + 1 60931 KachelY + 1 33280 -0.22074942 1.15098306 -12.648010 65.946472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15100260-1.15098306) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dl = 124.489340000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15100260-1.15098306) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dr = 124.489340000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22079736--0.22074942) × cos(1.15100260) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.407572098603818 × 6371000     		do = 124.483009819414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22079736--0.22074942) × cos(1.15098306) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.407589941927033 × 6371000     		du = 124.488459629612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15100260)-sin(1.15098306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407572098603818-0.407589941927033)×R²
    abs(-0.22074942--0.22079736)×1.78433232156383e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78433232156383e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78433232156383e-05×40589641000000     		ar = 15497.146955893m²