Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6093 / 10155
↖ ↑ ↗
← S 39.554883°
W 46.120606°		 ← 1 883.80 m → S 39.554883°
W 46.098633°		 →
↑
1 883.59 m
↓
↑
1 883.59 m
↓
S 39.571822°
W 46.120606°		 ← 1 883.34 m →
3 547 874 m²		 S 39.571822°
W 46.098633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371917724609375 y=0.619842529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371917724609375 × 214)
    floor (0.371917724609375 × 16384)
    floor (6093.5)     		tx = 6093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619842529296875 × 214)
    floor (0.619842529296875 × 16384)
    floor (10155.5)     		ty = 10155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6093 / 10155 ti = "14/6093/10155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6093/10155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6093 ÷ 214
    6093 ÷ 16384     		x = 0.37188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10155 ÷ 214
    10155 ÷ 16384     		y = 0.61981201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.2562255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80495642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61981201171875 × 2 - 1) × π
    -0.2396240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.752801071633362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80495642} λ = -0.80495642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752801071633362))-π/2
    2×atan(0.471045271555106)-π/2
    2×0.440216691087241-π/2
    0.880433382174482-1.57079632675     		φ = -0.69036294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80495642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.120606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69036294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.554883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6093 KachelY 10155 -0.80495642 -0.69036294 -46.120606 -39.554883
    Oben rechts KachelX + 1 6094 KachelY 10155 -0.80457292 -0.69036294 -46.098633 -39.554883
    Unten links KachelX 6093 KachelY + 1 10156 -0.80495642 -0.69065859 -46.120606 -39.571822
    Unten rechts KachelX + 1 6094 KachelY + 1 10156 -0.80457292 -0.69065859 -46.098633 -39.571822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69036294--0.69065859) × R
    0.000295649999999981 × 6371000     		dl = 1883.58614999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69036294--0.69065859) × R
    0.000295649999999981 × 6371000     		dr = 1883.58614999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80495642--0.80457292) × cos(-0.69036294) × R
    0.000383499999999981 × 0.771014939400902 × 6371000     		do = 1883.80422461693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80495642--0.80457292) × cos(-0.69065859) × R
    0.000383499999999981 × 0.770826630744151 × 6371000     		du = 1883.34413412453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69036294)-sin(-0.69065859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771014939400902-0.770826630744151)×R²
    abs(-0.80457292--0.80495642)×0.00018830865675068×R²
    0.000383499999999981×0.00018830865675068×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018830865675068×40589641000000     		ar = 3547874.26260272m²