Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60924 / 34108
↖ ↑ ↗
← N 65.002582°
W 12.667236°		 ← 129.07 m → N 65.002582°
W 12.664490°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
N 65.001421°
W 12.667236°		 ← 129.07 m →
16 660 m²		 N 65.001421°
W 12.664490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464817047119141 y=0.260227203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464817047119141 × 217)
    floor (0.464817047119141 × 131072)
    floor (60924.5)     		tx = 60924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260227203369141 × 217)
    floor (0.260227203369141 × 131072)
    floor (34108.5)     		ty = 34108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60924 / 34108 ti = "17/60924/34108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60924/34108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60924 ÷ 217
    60924 ÷ 131072     		x = 0.464813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34108 ÷ 217
    34108 ÷ 131072     		y = 0.260223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.07037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22108498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260223388671875 × 2 - 1) × π
    0.47955322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50656088125912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22108498} λ = -0.22108498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50656088125912))-π/2
    2×atan(4.51118956898214)-π/2
    2×1.35265270404218-π/2
    2.70530540808435-1.57079632675     		φ = 1.13450908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22108498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13450908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.002582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60924 KachelY 34108 -0.22108498 1.13450908 -12.667236 65.002582
    Oben rechts KachelX + 1 60925 KachelY 34108 -0.22103704 1.13450908 -12.664490 65.002582
    Unten links KachelX 60924 KachelY + 1 34109 -0.22108498 1.13448882 -12.667236 65.001421
    Unten rechts KachelX + 1 60925 KachelY + 1 34109 -0.22103704 1.13448882 -12.664490 65.001421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13450908-1.13448882) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dl = 129.076459999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13450908-1.13448882) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dr = 129.076459999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22108498--0.22103704) × cos(1.13450908) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42257741746022 × 6371000     		do = 129.066020435067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22108498--0.22103704) × cos(1.13448882) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422595779555106 × 6371000     		du = 129.071628691485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13450908)-sin(1.13448882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42257741746022-0.422595779555106)×R²
    abs(-0.22103704--0.22108498)×1.8362094886093e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8362094886093e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8362094886093e-05×40589641000000     		ar = 16659.7469712972m²