Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60923 / 34107
↖ ↑ ↗
← N 65.003743°
W 12.669983°		 ← 129.06 m → N 65.003743°
W 12.667236°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
N 65.002582°
W 12.669983°		 ← 129.07 m →
16 659 m²		 N 65.002582°
W 12.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464809417724609 y=0.260219573974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464809417724609 × 217)
    floor (0.464809417724609 × 131072)
    floor (60923.5)     		tx = 60923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260219573974609 × 217)
    floor (0.260219573974609 × 131072)
    floor (34107.5)     		ty = 34107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60923 / 34107 ti = "17/60923/34107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60923/34107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60923 ÷ 217
    60923 ÷ 131072     		x = 0.464805603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34107 ÷ 217
    34107 ÷ 131072     		y = 0.260215759277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464805603027344 × 2 - 1) × π
    -0.0703887939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22113292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260215759277344 × 2 - 1) × π
    0.479568481445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.50660881815874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22113292} λ = -0.22113292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50660881815874))-π/2
    2×atan(4.511405826607)-π/2
    2×1.35266283234775-π/2
    2.7053256646955-1.57079632675     		φ = 1.13452934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22113292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.669983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13452934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.003743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60923 KachelY 34107 -0.22113292 1.13452934 -12.669983 65.003743
    Oben rechts KachelX + 1 60924 KachelY 34107 -0.22108498 1.13452934 -12.667236 65.003743
    Unten links KachelX 60923 KachelY + 1 34108 -0.22113292 1.13450908 -12.669983 65.002582
    Unten rechts KachelX + 1 60924 KachelY + 1 34108 -0.22108498 1.13450908 -12.667236 65.002582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13452934-1.13450908) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dl = 129.07646000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13452934-1.13450908) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dr = 129.07646000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22113292--0.22108498) × cos(1.13452934) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.422559055191879 × 6371000     		do = 129.060412125745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22113292--0.22108498) × cos(1.13450908) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.42257741746022 × 6371000     		du = 129.066020435141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13452934)-sin(1.13450908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422559055191879-0.42257741746022)×R²
    abs(-0.22108498--0.22113292)×1.8362268340677e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8362268340677e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8362268340677e-05×40589641000000     		ar = 16659.023074531m²