Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60922 / 40632
↖ ↑ ↗
← N 56.279961°
W 12.672729°		 ← 169.52 m → N 56.279961°
W 12.669983°		 →
↑
169.53 m
↓
↑
169.53 m
↓
N 56.278436°
W 12.672729°		 ← 169.52 m →
28 739 m²		 N 56.278436°
W 12.669983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464801788330078 y=0.310001373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464801788330078 × 217)
    floor (0.464801788330078 × 131072)
    floor (60922.5)     		tx = 60922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310001373291016 × 217)
    floor (0.310001373291016 × 131072)
    floor (40632.5)     		ty = 40632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60922 / 40632 ti = "17/60922/40632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60922/40632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60922 ÷ 217
    60922 ÷ 131072     		x = 0.464797973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40632 ÷ 217
    40632 ÷ 131072     		y = 0.30999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464797973632812 × 2 - 1) × π
    -0.070404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22118085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30999755859375 × 2 - 1) × π
    0.3800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19382054813788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22118085} λ = -0.22118085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19382054813788))-π/2
    2×atan(3.29966368003518)-π/2
    2×1.27653347309153-π/2
    2.55306694618306-1.57079632675     		φ = 0.98227062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22118085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.672729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98227062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.279961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60922 KachelY 40632 -0.22118085 0.98227062 -12.672729 56.279961
    Oben rechts KachelX + 1 60923 KachelY 40632 -0.22113292 0.98227062 -12.669983 56.279961
    Unten links KachelX 60922 KachelY + 1 40633 -0.22118085 0.98224401 -12.672729 56.278436
    Unten rechts KachelX + 1 60923 KachelY + 1 40633 -0.22113292 0.98224401 -12.669983 56.278436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98227062-0.98224401) × R
    2.6610000000038e-05 × 6371000     		dl = 169.532310000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98227062-0.98224401) × R
    2.6610000000038e-05 × 6371000     		dr = 169.532310000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22118085--0.22113292) × cos(0.98227062) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555135368523039 × 6371000     		do = 169.517263056999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22118085--0.22113292) × cos(0.98224401) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555157501460493 × 6371000     		du = 169.52402161571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98227062)-sin(0.98224401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555135368523039-0.555157501460493)×R²
    abs(-0.22113292--0.22118085)×2.21329374541224e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21329374541224e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21329374541224e-05×40589641000000     		ar = 28739.226089553m²