Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60922 / 40265
↖ ↑ ↗
← N 56.835452°
W 12.672729°		 ← 167.05 m → N 56.835452°
W 12.669983°		 →
↑
167.11 m
↓
↑
167.11 m
↓
N 56.833949°
W 12.672729°		 ← 167.05 m →
27 916 m²		 N 56.833949°
W 12.669983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464801788330078 y=0.307201385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464801788330078 × 217)
    floor (0.464801788330078 × 131072)
    floor (60922.5)     		tx = 60922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307201385498047 × 217)
    floor (0.307201385498047 × 131072)
    floor (40265.5)     		ty = 40265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60922 / 40265 ti = "17/60922/40265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60922/40265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60922 ÷ 217
    60922 ÷ 131072     		x = 0.464797973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40265 ÷ 217
    40265 ÷ 131072     		y = 0.307197570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464797973632812 × 2 - 1) × π
    -0.070404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22118085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307197570800781 × 2 - 1) × π
    0.385604858398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.21141339029844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22118085} λ = -0.22118085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21141339029844))-π/2
    2×atan(3.35822778638297)-π/2
    2×1.28138104694529-π/2
    2.56276209389059-1.57079632675     		φ = 0.99196577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22118085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.672729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99196577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.835452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60922 KachelY 40265 -0.22118085 0.99196577 -12.672729 56.835452
    Oben rechts KachelX + 1 60923 KachelY 40265 -0.22113292 0.99196577 -12.669983 56.835452
    Unten links KachelX 60922 KachelY + 1 40266 -0.22118085 0.99193954 -12.672729 56.833949
    Unten rechts KachelX + 1 60923 KachelY + 1 40266 -0.22113292 0.99193954 -12.669983 56.833949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99196577-0.99193954) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dl = 167.111330000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99196577-0.99193954) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dr = 167.111330000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22118085--0.22113292) × cos(0.99196577) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547045366714555 × 6371000     		do = 167.046883682056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22118085--0.22113292) × cos(0.99193954) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547067323737023 × 6371000     		du = 167.05358852301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99196577)-sin(0.99193954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547045366714555-0.547067323737023)×R²
    abs(-0.22113292--0.22118085)×2.19570224686549e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19570224686549e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19570224686549e-05×40589641000000     		ar = 27915.9871334959m²