Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60921 / 40248
↖ ↑ ↗
← N 56.860986°
W 12.675476°		 ← 166.97 m → N 56.860986°
W 12.672729°		 →
↑
166.98 m
↓
↑
166.98 m
↓
N 56.859484°
W 12.675476°		 ← 166.97 m →
27 881 m²		 N 56.859484°
W 12.672729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464794158935547 y=0.307071685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464794158935547 × 217)
    floor (0.464794158935547 × 131072)
    floor (60921.5)     		tx = 60921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307071685791016 × 217)
    floor (0.307071685791016 × 131072)
    floor (40248.5)     		ty = 40248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60921 / 40248 ti = "17/60921/40248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60921/40248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60921 ÷ 217
    60921 ÷ 131072     		x = 0.464790344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40248 ÷ 217
    40248 ÷ 131072     		y = 0.30706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464790344238281 × 2 - 1) × π
    -0.0704193115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22122879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30706787109375 × 2 - 1) × π
    0.3858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21222831759198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22122879} λ = -0.22122879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21222831759198))-π/2
    2×atan(3.36096561327744)-π/2
    2×1.28160387202714-π/2
    2.56320774405429-1.57079632675     		φ = 0.99241142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22122879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.675476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99241142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.860986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60921 KachelY 40248 -0.22122879 0.99241142 -12.675476 56.860986
    Oben rechts KachelX + 1 60922 KachelY 40248 -0.22118085 0.99241142 -12.672729 56.860986
    Unten links KachelX 60921 KachelY + 1 40249 -0.22122879 0.99238521 -12.675476 56.859484
    Unten rechts KachelX + 1 60922 KachelY + 1 40249 -0.22118085 0.99238521 -12.672729 56.859484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99241142-0.99238521) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dl = 166.983910000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99241142-0.99238521) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dr = 166.983910000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22122879--0.22118085) × cos(0.99241142) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546672257469805 × 6371000     		do = 166.967778775173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22122879--0.22118085) × cos(0.99238521) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546694204138207 × 6371000     		du = 166.97448185261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99241142)-sin(0.99238521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546672257469805-0.546694204138207)×R²
    abs(-0.22118085--0.22122879)×2.19466684014957e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19466684014957e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19466684014957e-05×40589641000000     		ar = 27881.4921987231m²