Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60920 / 40638
↖ ↑ ↗
← N 56.270811°
W 12.678223°		 ← 169.59 m → N 56.270811°
W 12.675476°		 →
↑
169.60 m
↓
↑
169.60 m
↓
N 56.269286°
W 12.678223°		 ← 169.60 m →
28 763 m²		 N 56.269286°
W 12.675476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464786529541016 y=0.310047149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464786529541016 × 217)
    floor (0.464786529541016 × 131072)
    floor (60920.5)     		tx = 60920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310047149658203 × 217)
    floor (0.310047149658203 × 131072)
    floor (40638.5)     		ty = 40638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60920 / 40638 ti = "17/60920/40638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60920/40638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60920 ÷ 217
    60920 ÷ 131072     		x = 0.46478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40638 ÷ 217
    40638 ÷ 131072     		y = 0.310043334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22127673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310043334960938 × 2 - 1) × π
    0.379913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19353292674016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22127673} λ = -0.22127673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19353292674016))-π/2
    2×atan(3.29871476262654)-π/2
    2×1.27645362913626-π/2
    2.55290725827251-1.57079632675     		φ = 0.98211093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22127673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98211093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.270811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60920 KachelY 40638 -0.22127673 0.98211093 -12.678223 56.270811
    Oben rechts KachelX + 1 60921 KachelY 40638 -0.22122879 0.98211093 -12.675476 56.270811
    Unten links KachelX 60920 KachelY + 1 40639 -0.22127673 0.98208431 -12.678223 56.269286
    Unten rechts KachelX + 1 60921 KachelY + 1 40639 -0.22122879 0.98208431 -12.675476 56.269286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98211093-0.98208431) × R
    2.66200000000882e-05 × 6371000     		dl = 169.596020000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98211093-0.98208431) × R
    2.66200000000882e-05 × 6371000     		dr = 169.596020000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22127673--0.22122879) × cos(0.98211093) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555268185201051 × 6371000     		do = 169.593196363475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22127673--0.22122879) × cos(0.98208431) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555290324095777 × 6371000     		du = 169.59995815178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98211093)-sin(0.98208431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555268185201051-0.555290324095777)×R²
    abs(-0.22122879--0.22127673)×2.21388947256873e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21388947256873e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21388947256873e-05×40589641000000     		ar = 28762.9045103181m²