Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6092 / 10148
↖ ↑ ↗
← S 39.436193°
W 46.142578°		 ← 1 886.97 m → S 39.436193°
W 46.120606°		 →
↑
1 886.77 m
↓
↑
1 886.77 m
↓
S 39.453161°
W 46.142578°		 ← 1 886.51 m →
3 559 856 m²		 S 39.453161°
W 46.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371856689453125 y=0.619415283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371856689453125 × 214)
    floor (0.371856689453125 × 16384)
    floor (6092.5)     		tx = 6092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619415283203125 × 214)
    floor (0.619415283203125 × 16384)
    floor (10148.5)     		ty = 10148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6092 / 10148 ti = "14/6092/10148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6092/10148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6092 ÷ 214
    6092 ÷ 16384     		x = 0.371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10148 ÷ 214
    10148 ÷ 16384     		y = 0.619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.25634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80533991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.750116605254639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80533991} λ = -0.80533991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750116605254639))-π/2
    2×atan(0.472311475530058)-π/2
    2×0.441252457260743-π/2
    0.882504914521487-1.57079632675     		φ = -0.68829141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80533991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68829141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.436193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6092 KachelY 10148 -0.80533991 -0.68829141 -46.142578 -39.436193
    Oben rechts KachelX + 1 6093 KachelY 10148 -0.80495642 -0.68829141 -46.120606 -39.436193
    Unten links KachelX 6092 KachelY + 1 10149 -0.80533991 -0.68858756 -46.142578 -39.453161
    Unten rechts KachelX + 1 6093 KachelY + 1 10149 -0.80495642 -0.68858756 -46.120606 -39.453161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68829141--0.68858756) × R
    0.00029614999999994 × 6371000     		dl = 1886.77164999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68829141--0.68858756) × R
    0.00029614999999994 × 6371000     		dr = 1886.77164999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80533991--0.80495642) × cos(-0.68829141) × R
    0.000383490000000042 × 0.772332469790943 × 6371000     		do = 1886.97411299066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80533991--0.80495642) × cos(-0.68858756) × R
    0.000383490000000042 × 0.772144315963161 × 6371000     		du = 1886.51441277583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68829141)-sin(-0.68858756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772332469790943-0.772144315963161)×R²
    abs(-0.80495642--0.80533991)×0.000188153827781257×R²
    0.000383490000000042×0.000188153827781257×6371000²
    0.000383490000000042×0.000188153827781257×40589641000000     		ar = 3559855.61202601m²