Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60918 / 40217
↖ ↑ ↗
← N 56.907503°
W 12.683716°		 ← 166.73 m → N 56.907503°
W 12.680969°		 →
↑
166.73 m
↓
↑
166.73 m
↓
N 56.906003°
W 12.683716°		 ← 166.73 m →
27 799 m²		 N 56.906003°
W 12.680969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464771270751953 y=0.306835174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464771270751953 × 217)
    floor (0.464771270751953 × 131072)
    floor (60918.5)     		tx = 60918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306835174560547 × 217)
    floor (0.306835174560547 × 131072)
    floor (40217.5)     		ty = 40217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60918 / 40217 ti = "17/60918/40217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60918/40217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60918 ÷ 217
    60918 ÷ 131072     		x = 0.464767456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40217 ÷ 217
    40217 ÷ 131072     		y = 0.306831359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464767456054688 × 2 - 1) × π
    -0.070465087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22137260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306831359863281 × 2 - 1) × π
    0.386337280273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.2137143614802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22137260} λ = -0.22137260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2137143614802))-π/2
    2×atan(3.36596386857913)-π/2
    2×1.28200980885489-π/2
    2.56401961770979-1.57079632675     		φ = 0.99322329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22137260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.683716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99322329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.907503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60918 KachelY 40217 -0.22137260 0.99322329 -12.683716 56.907503
    Oben rechts KachelX + 1 60919 KachelY 40217 -0.22132467 0.99322329 -12.680969 56.907503
    Unten links KachelX 60918 KachelY + 1 40218 -0.22137260 0.99319712 -12.683716 56.906003
    Unten rechts KachelX + 1 60919 KachelY + 1 40218 -0.22132467 0.99319712 -12.680969 56.906003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99322329-0.99319712) × R
    2.61699999999365e-05 × 6371000     		dl = 166.729069999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99322329-0.99319712) × R
    2.61699999999365e-05 × 6371000     		dr = 166.729069999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22137260--0.22132467) × cos(0.99322329) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54599226074007 × 6371000     		do = 166.725305103883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22137260--0.22132467) × cos(0.99319712) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.546014185523135 × 6371000     		du = 166.732000100146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99322329)-sin(0.99319712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54599226074007-0.546014185523135)×R²
    abs(-0.22132467--0.22137260)×2.19247830646196e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19247830646196e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19247830646196e-05×40589641000000     		ar = 27798.5131922924m²