Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60916 / 84116
↖ ↑ ↗
← S 45.375303°
W 12.689209°		 ← 214.55 m → S 45.375303°
W 12.686462°		 →
↑
214.51 m
↓
↑
214.51 m
↓
S 45.377232°
W 12.689209°		 ← 214.54 m →
46 023 m²		 S 45.377232°
W 12.686462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464756011962891 y=0.641757965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464756011962891 × 217)
    floor (0.464756011962891 × 131072)
    floor (60916.5)     		tx = 60916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641757965087891 × 217)
    floor (0.641757965087891 × 131072)
    floor (84116.5)     		ty = 84116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60916 / 84116 ti = "17/60916/84116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60916/84116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60916 ÷ 217
    60916 ÷ 131072     		x = 0.464752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84116 ÷ 217
    84116 ÷ 131072     		y = 0.641754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.07049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22146848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.28350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.890667594940643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22146848} λ = -0.22146848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890667594940643))-π/2
    2×atan(0.410381692540246)-π/2
    2×0.389423950854093-π/2
    0.778847901708187-1.57079632675     		φ = -0.79194843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22146848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.689209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79194843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.375303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60916 KachelY 84116 -0.22146848 -0.79194843 -12.689209 -45.375303
    Oben rechts KachelX + 1 60917 KachelY 84116 -0.22142054 -0.79194843 -12.686462 -45.375303
    Unten links KachelX 60916 KachelY + 1 84117 -0.22146848 -0.79198210 -12.689209 -45.377232
    Unten rechts KachelX + 1 60917 KachelY + 1 84117 -0.22142054 -0.79198210 -12.686462 -45.377232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79194843--0.79198210) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dl = 214.511569999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79194843--0.79198210) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dr = 214.511569999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22146848--0.22142054) × cos(-0.79194843) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702459906869875 × 6371000     		do = 214.549336876046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22146848--0.22142054) × cos(-0.79198210) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702435942747635 × 6371000     		du = 214.542017616278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79194843)-sin(-0.79198210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702459906869875-0.702435942747635)×R²
    abs(-0.22142054--0.22146848)×2.39641222402609e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39641222402609e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39641222402609e-05×40589641000000     		ar = 46022.5300670896m²