Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60915 / 40533
↖ ↑ ↗
← N 56.430611°
W 12.691955°		 ← 168.85 m → N 56.430611°
W 12.689209°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
N 56.429092°
W 12.691955°		 ← 168.86 m →
28 518 m²		 N 56.429092°
W 12.689209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464748382568359 y=0.309246063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464748382568359 × 217)
    floor (0.464748382568359 × 131072)
    floor (60915.5)     		tx = 60915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309246063232422 × 217)
    floor (0.309246063232422 × 131072)
    floor (40533.5)     		ty = 40533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60915 / 40533 ti = "17/60915/40533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60915/40533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60915 ÷ 217
    60915 ÷ 131072     		x = 0.464744567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40533 ÷ 217
    40533 ÷ 131072     		y = 0.309242248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464744567871094 × 2 - 1) × π
    -0.0705108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22151641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309242248535156 × 2 - 1) × π
    0.381515502929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.19856630120026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22151641} λ = -0.22151641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19856630120026))-π/2
    2×atan(3.31536028569661)-π/2
    2×1.27784814283789-π/2
    2.55569628567579-1.57079632675     		φ = 0.98489996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22151641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.691955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98489996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.430611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60915 KachelY 40533 -0.22151641 0.98489996 -12.691955 56.430611
    Oben rechts KachelX + 1 60916 KachelY 40533 -0.22146848 0.98489996 -12.689209 56.430611
    Unten links KachelX 60915 KachelY + 1 40534 -0.22151641 0.98487345 -12.691955 56.429092
    Unten rechts KachelX + 1 60916 KachelY + 1 40534 -0.22146848 0.98487345 -12.689209 56.429092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98489996-0.98487345) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98489996-0.98487345) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22151641--0.22146848) × cos(0.98489996) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.552946472221695 × 6371000     		do = 168.848857238961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22151641--0.22146848) × cos(0.98487345) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.552968560604173 × 6371000     		du = 168.855602192274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98489996)-sin(0.98487345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552946472221695-0.552968560604173)×R²
    abs(-0.22146848--0.22151641)×2.20883824777474e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20883824777474e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20883824777474e-05×40589641000000     		ar = 28518.3327984388m²