Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60914 / 40219
↖ ↑ ↗
← N 56.904503°
W 12.694702°		 ← 166.77 m → N 56.904503°
W 12.691955°		 →
↑
166.73 m
↓
↑
166.73 m
↓
N 56.903004°
W 12.694702°		 ← 166.78 m →
27 807 m²		 N 56.903004°
W 12.691955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464740753173828 y=0.306850433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464740753173828 × 217)
    floor (0.464740753173828 × 131072)
    floor (60914.5)     		tx = 60914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306850433349609 × 217)
    floor (0.306850433349609 × 131072)
    floor (40219.5)     		ty = 40219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60914 / 40219 ti = "17/60914/40219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60914/40219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60914 ÷ 217
    60914 ÷ 131072     		x = 0.464736938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40219 ÷ 217
    40219 ÷ 131072     		y = 0.306846618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464736938476562 × 2 - 1) × π
    -0.070526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22156435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306846618652344 × 2 - 1) × π
    0.386306762695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.21361848768096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22156435} λ = -0.22156435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21361848768096))-π/2
    2×atan(3.36564117630406)-π/2
    2×1.28198363462758-π/2
    2.56396726925515-1.57079632675     		φ = 0.99317094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22156435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.694702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99317094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.904503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60914 KachelY 40219 -0.22156435 0.99317094 -12.694702 56.904503
    Oben rechts KachelX + 1 60915 KachelY 40219 -0.22151641 0.99317094 -12.691955 56.904503
    Unten links KachelX 60914 KachelY + 1 40220 -0.22156435 0.99314477 -12.694702 56.903004
    Unten rechts KachelX + 1 60915 KachelY + 1 40220 -0.22151641 0.99314477 -12.691955 56.903004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99317094-0.99314477) × R
    2.61699999999365e-05 × 6371000     		dl = 166.729069999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99317094-0.99314477) × R
    2.61699999999365e-05 × 6371000     		dr = 166.729069999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22156435--0.22151641) × cos(0.99317094) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546036118309868 × 6371000     		do = 166.773485501506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22156435--0.22151641) × cos(0.99314477) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546058042344878 × 6371000     		du = 166.780181666123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99317094)-sin(0.99314477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546036118309868-0.546058042344878)×R²
    abs(-0.22151641--0.22156435)×2.19240350104455e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19240350104455e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19240350104455e-05×40589641000000     		ar = 27806.546362318m²