Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60914 / 33290
↖ ↑ ↗
← N 65.935274°
W 12.694702°		 ← 124.54 m → N 65.935274°
W 12.691955°		 →
↑
124.49 m
↓
↑
124.49 m
↓
N 65.934155°
W 12.694702°		 ← 124.55 m →
15 505 m²		 N 65.934155°
W 12.691955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464740753173828 y=0.253986358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464740753173828 × 217)
    floor (0.464740753173828 × 131072)
    floor (60914.5)     		tx = 60914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253986358642578 × 217)
    floor (0.253986358642578 × 131072)
    floor (33290.5)     		ty = 33290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60914 / 33290 ti = "17/60914/33290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60914/33290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60914 ÷ 217
    60914 ÷ 131072     		x = 0.464736938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33290 ÷ 217
    33290 ÷ 131072     		y = 0.253982543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464736938476562 × 2 - 1) × π
    -0.070526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22156435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.253982543945312 × 2 - 1) × π
    0.492034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54577326514833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22156435} λ = -0.22156435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54577326514833))-π/2
    2×atan(4.69159807401939)-π/2
    2×1.36079198029736-π/2
    2.72158396059471-1.57079632675     		φ = 1.15078763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22156435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.694702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15078763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.935274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60914 KachelY 33290 -0.22156435 1.15078763 -12.694702 65.935274
    Oben rechts KachelX + 1 60915 KachelY 33290 -0.22151641 1.15078763 -12.691955 65.935274
    Unten links KachelX 60914 KachelY + 1 33291 -0.22156435 1.15076809 -12.694702 65.934155
    Unten rechts KachelX + 1 60915 KachelY + 1 33291 -0.22151641 1.15076809 -12.691955 65.934155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15078763-1.15076809) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dl = 124.489340000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15078763-1.15076809) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dr = 124.489340000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22156435--0.22151641) × cos(1.15078763) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.407768393991386 × 6371000     		do = 124.542963483421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22156435--0.22151641) × cos(1.15076809) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.40778623560214 × 6371000     		du = 124.548412770588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15078763)-sin(1.15076809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407768393991386-0.40778623560214)×R²
    abs(-0.22151641--0.22156435)×1.78416107536328e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78416107536328e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78416107536328e-05×40589641000000     		ar = 15504.6105152471m²