Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60912 / 33296
↖ ↑ ↗
← N 65.928554°
W 12.700195°		 ← 124.55 m → N 65.928554°
W 12.697449°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
N 65.927433°
W 12.700195°		 ← 124.56 m →
15 521 m²		 N 65.927433°
W 12.697449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464725494384766 y=0.254032135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464725494384766 × 217)
    floor (0.464725494384766 × 131072)
    floor (60912.5)     		tx = 60912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254032135009766 × 217)
    floor (0.254032135009766 × 131072)
    floor (33296.5)     		ty = 33296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60912 / 33296 ti = "17/60912/33296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60912/33296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60912 ÷ 217
    60912 ÷ 131072     		x = 0.4647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33296 ÷ 217
    33296 ÷ 131072     		y = 0.2540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22166022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2540283203125 × 2 - 1) × π
    0.491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54548564375061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22166022} λ = -0.22166022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54548564375061))-π/2
    2×atan(4.69024886406393)-π/2
    2×1.36073333113931-π/2
    2.72146666227862-1.57079632675     		φ = 1.15067034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22166022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15067034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.928554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60912 KachelY 33296 -0.22166022 1.15067034 -12.700195 65.928554
    Oben rechts KachelX + 1 60913 KachelY 33296 -0.22161229 1.15067034 -12.697449 65.928554
    Unten links KachelX 60912 KachelY + 1 33297 -0.22166022 1.15065078 -12.700195 65.927433
    Unten rechts KachelX + 1 60913 KachelY + 1 33297 -0.22161229 1.15065078 -12.697449 65.927433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15067034-1.15065078) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dl = 124.616759999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15067034-1.15065078) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dr = 124.616759999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22166022--0.22161229) × cos(1.15067034) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.407875486972187 × 6371000     		do = 124.54968668907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22166022--0.22161229) × cos(1.15065078) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.407893345908847 × 6371000     		du = 124.555140130222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15067034)-sin(1.15065078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407875486972187-0.407893345908847)×R²
    abs(-0.22161229--0.22166022)×1.78589366595094e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.78589366595094e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.78589366595094e-05×40589641000000     		ar = 15521.3182098338m²