Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60911 / 32508
↖ ↑ ↗
← N 66.796239°
W 12.702942°		 ← 120.34 m → N 66.796239°
W 12.700195°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
N 66.795156°
W 12.702942°		 ← 120.34 m →
14 483 m²		 N 66.795156°
W 12.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464717864990234 y=0.248020172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464717864990234 × 217)
    floor (0.464717864990234 × 131072)
    floor (60911.5)     		tx = 60911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248020172119141 × 217)
    floor (0.248020172119141 × 131072)
    floor (32508.5)     		ty = 32508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60911 / 32508 ti = "17/60911/32508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60911/32508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60911 ÷ 217
    60911 ÷ 131072     		x = 0.464714050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32508 ÷ 217
    32508 ÷ 131072     		y = 0.248016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464714050292969 × 2 - 1) × π
    -0.0705718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22170816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248016357421875 × 2 - 1) × π
    0.50396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58325992065121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22170816} λ = -0.22170816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58325992065121))-π/2
    2×atan(4.87080840701049)-π/2
    2×1.36830530821257-π/2
    2.73661061642514-1.57079632675     		φ = 1.16581429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22170816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.702942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16581429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.796239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60911 KachelY 32508 -0.22170816 1.16581429 -12.702942 66.796239
    Oben rechts KachelX + 1 60912 KachelY 32508 -0.22166022 1.16581429 -12.700195 66.796239
    Unten links KachelX 60911 KachelY + 1 32509 -0.22170816 1.16579540 -12.702942 66.795156
    Unten rechts KachelX + 1 60912 KachelY + 1 32509 -0.22166022 1.16579540 -12.700195 66.795156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16581429-1.16579540) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16581429-1.16579540) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22170816--0.22166022) × cos(1.16581429) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.39400225028234 × 6371000     		do = 120.33842885414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22170816--0.22166022) × cos(1.16579540) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394019612190022 × 6371000     		du = 120.343731627641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16581429)-sin(1.16579540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39400225028234-0.394019612190022)×R²
    abs(-0.22166022--0.22170816)×1.73619076827003e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73619076827003e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73619076827003e-05×40589641000000     		ar = 14482.8311902116m²